PUCRIO – Cálculo 4 – MAT1154 – 2020.2 – G1 – Tarefa 1
Considere a série
em que , e são números reais fixados (constantes).
A série é geométrica? Justifique sua resposta.
Se a série for geométrica, encontre condições sobre , e para que a série seja convergente.
Passo 1
Vem comigo que a gente detona essa juntos!
A série geométrica de forma geral tem a seguinte cara:
Converge se e diverge se .
Para saber se a série que temos no enunciado é geométrica, a gente consegue arrumar e ficar parecida com essa definição.
Passo 2
Vamos começar a mexer na nossa série, temos:
Agora vamos multiplicar e dividir o termo dentro da série por , assim:
A vantagem de fazer isso é que:
Assim temos que:
Passo 3
Agora vamos dividir e multiplicar por , então:
Isso ajuda já que:
Então temos que:
Comparando com a definição de série geométrica temos que:
Então essa série é geométrica.
Passo 4
Para que essa série seja convergente temos que:
Se e são , e pode ter qualquer valor desde que , Agora se , então .
A constante pode ter qualquer valor, já que ele só faz parte do parâmetro e ele não contribui para a convergência da série.
Resposta
A série é geométrica.
Explicado acima.