2) Quais das séries convergem e quais divergem? Se uma série convergir, calcule a sua soma.

h) ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n + 1

Passo 1

Falaaa... nessa questão vamos dizer se a série converge ou diverge. Se convergir, calculamos a soma.

Essa não é uma série geométrica, então voltamos pra definição geral que é se temos uma série:

∑ n = 1 ∞ a n = a 1 + a 2 + …

Denotamos por s n a sua n -ésima soma parcial:

s n = ∑ i = 1 n a i = a 1 + a 2 + … + a n

Se a sequência s n for convergente e se lim n → ∞ ⁡ s n = s existir como um número real, então a série ∑ a n é convergente e sua soma é dada por s .

Caso contrário, a série é dita divergente.

Bora pro exercício pra enxergar melhor.

Passo 2

Para a soma parcial:

s n = ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n + 1 = ln ⁡ 1 2 + ln ⁡ 2 3 + ln ⁡ 4 3 + … + ln ⁡ n n + 1

Usando a propriedade de log ( ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

s n ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n + 1 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 + ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 + ln ⁡ 3 - ln ⁡ 4 + … + ln ⁡ n - ln ⁡ n + 1

Repare que tem um monte de + e – com números iguais, então eles vão se cancelar, né? Sobrando somente o primeiro número e o último:

s n = ln ⁡ 1 - ln ⁡ n + 1

s n = ln ⁡ 1 n + 1

Agora calculamos o limite pra quando isso vai pro infinito:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 n + 1 = - ∞

Como a sequência s n é convergente e o limite não é um número real, então a série é divergente.

Resposta

Divergente

Exercícios Resolvidos de Série geométrica

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