UFU – Cálculo 3 – Professora Lúcia – Primeira Lista – 2022/2
2) Quais das séries convergem e quais divergem? Se uma série convergir, calcule a sua soma.
g)
Passo 1
Falaaa... nessa questão vamos dizer se a série converge ou diverge. Se convergir, calculamos a soma.
Essa não é uma série geométrica, então voltamos pra definição geral que é se temos uma série:
Denotamos por a sua -ésima soma parcial:
Se a sequência for convergente e se existir como um número real, então a série é convergente e sua soma é dada por .
Caso contrário, a série é dita divergente.
Bora pro exercício pra enxergar melhor.
Passo 2
Para a soma parcial:
Primeiro vamos dividir esse termo geral em frações parciais:
Ficamos com o sistema:
Resolvendo:
Então ficaremos com:
Passo 3
Vamos fazer essa soma parcial na mão pra ver um negócio:
Repare que tem um monte de + e – com números iguais, então eles vão se cancelar, né? Sobrando somente o primeiro número e o último:
Agora calculamos o limite pra quando isso vai pro infinito:
Como a sequência é convergente e o limite é um número real, então a série é convergente e sua soma vale ½.
Resposta
Convergente
Soma = 1/2