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Exercícios Resolvidos de Série geométrica

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Enunciado

Séries Numéricas

Mostre que

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n + 1 = - ∞

Passo 1

Ele quer que mostre aquela relação da série. Temos um logaritmo com uma divisão dentro então vamos fazer

ln ⁡ n n + 1 = ln ⁡ n - ln ⁡ n + 1

Assim vamos ter

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n + 1 = ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n - ln ⁡ n + 1 = ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n - ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n + 1

Repara que vamos ter nessa série

Vamos fazer

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n - ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n + 1 = lim a → ∞ ⁡ ∑ n = 1 a ln ⁡ n - ∑ n = 1 a ln ⁡ n + 1

∑ n = 1 a ln ⁡ n - ∑ n = 1 a ln ⁡ n + 1 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 + ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 + ln ⁡ 3 - ln ⁡ 4 + … + ln ⁡ a - ln ⁡ a + 1

Repara que todos desde ln ⁡ 2 até ln ⁡ a aparecem positivos e negativos, assim

∑ n = 1 a ln ⁡ n - ∑ n = 1 a ln ⁡ n + 1 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ a + 1

E voltando para o limite

lim a → ∞ ⁡ ∑ n = 1 a ln ⁡ n - ∑ n = 1 a ln ⁡ n + 1 = lim a → ∞ ⁡ 0 - ln ⁡ a + 1 = - ln ⁡ ∞ = - ∞

Resposta

Temos o que ele pediu

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n + 1 = lim a → ∞ ⁡ 0 - ln ⁡ a + 1 = - ∞

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