USP – Cálculo 4 – 2019 – P1 – Exercício 12
Seja a sequência numérica definida por e . Considere as seguintes afirmações:
(I) é sequência monótona crescente.
(II) é limitada superiormente por .
(III) .
Podemos afirmar que:
a) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
b) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
c) Todas as afirmações são verdadeiras.
d) Apenas a afirmação (III) é verdadeira.
e) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
Passo 1
Fala galera, bora fazer uma questão de prova da POLI!
Essa questão é sobre uma sequência recursiva, dada por
Para ter uma noção do que está acontecendo, vamos ver como se comportam os primeiros termos da sequência:
Note que a sequência parece ser crescente. Note que a diferença entre os termos também vai diminuindo:
Note que somos levados a crer que
O incremento entre cada termo vai ficando cada vez menor, mas sempre é positivo. Com isso, temos que
Portanto a série é monótona crescente: a afirmativa (I) é correta!
Passo 2
As afirmativas (II) e (III) nós vamos discutir em conjunto.
Sabemos que o incremento entre o termo e o termo é . Assim, como o primeiro termo é , os termos seguintes são dados por
Seguindo essa lógica:
Quando , isso vira uma soma dos termos de uma PG infinita com razão , que é dada por
Portanto,
Antes de continuar, deixa eu esclarecer algumas coisas que podem te confundir. A primeira é: é uma sequência, não uma série! Todavia, estudando essa sequência nós percebemos que cada termo da sequência é uma soma de termos de uma PG de razão . Com isso, vimos que o termo geral dessa sequência tende a soma de uma PG infinita (série geométrica) quando . Repetindo mais uma vez: é uma sequência, não uma série! A série geométrica apareceu no meio do problema quando queríamos avaliar , apenas isso!
Passo 3
Vimos que
Isso já torna a afirmativa (III) falsa pois ela diz que esse limite deveria ser . Agora vamos olhar com bastante calma a afirmativa (II). Ela diz que é limitada superiormente por . Você deve estar achando que ela falsa, já que ela devia ser limitada superiormente por , né?
De fato, ela é limitada superiormente por , mas também é por , por , por . Ela é limitada superiormente por qualquer número maior ou igual a . Pense assim, se um número é menor que , ele é menor que qualquer número que seja maior que . O mesmo vale aqui: se a sequência é limitada superiormente por , ela também será limitada superiormente por qualquer número maior que .
Portanto, apesar da afirmativa (III) ser falsa, a afirmativa (II) é verdadeira! Com isso, como (I) e (II) são verdadeiras, a resposta está na alternativa A!!!
Resposta
Alternativa A.