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Exercícios Resolvidos de Série geométrica

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Enunciado

PUC Rio; Cálculo 4; Prova G2 de 2019.1

Questão 3 (Justifique todas as suas respostas):

  1. Considere a série

∑ n = 0 ∞ A - 1 - n B 2 n C 1 - 3 n

Em que A , B e C são constantes.

Determine se esta é uma série geométrica; determine uma relação entre A ,   B e C para que a série seja convergente.

Passo 1

Bem, primeiro vamos dar uma reorganizada na expressão dessa série, ok?

Veja que por propriedades de potenciação: x a + b = x a x b . Então...

∑ n = 0 ∞ A - 1 A - n B 2 n C ⋅ C - 3 n =

∑ n = 0 ∞ A - 1 C ⋅ A - n B 2 n C - 3 n

Como A - 1 = 1 / A e, além disso, A - n B 2 n C - 3 n = A - 1 B 2 C - 3 n ...

∑ n = 0 ∞ C A ⋅ A - 1 B 2 C - 3 n     →

∑ n = 0 ∞ C A ⋅ B 2 A ⋅ C 3 n

Passo 2

Poxa, a série geométrica ela tem essa cara aqui:

∑ n = 0 ∞ a ⋅ r n

Onde a é uma constante e r é a razão da série (também uma constante). Então SIM! A nossa série que estamos a verificar é uma série geométrica, afinal se A , C e B são constantes...

C A = a           ( é   c o n s t a n t e )

E

B 2 A ⋅ C 3 = r             ( t a m b é m   é   c o n s t a n t e )

Passo 3

Agora temos que achar uma condição de A , B e C para a série ser convergente. Sabemos da teoria que a série geométrica, converge para...

∑ n = 0 ∞ a ⋅ r n = a 1 - r

Mas só se r < 1 ! Então...

B 2 A ⋅ C 3 < 1     →

B 2 A ⋅ C 3 < 1   →

B 2 < A ⋅ C 3   →

Como o módulo de B 2 é sempre B 2 , afinal o quadro não permite valores negativos...

B 2 < A ⋅ C 3

E essa é a condição sobre essas constantes para a convergência, sacou?

Resposta

É uma série geométrica:

∑ n = 0 ∞ C A ⋅ B 2 A ⋅ C 3 n

Condição para convergência: B 2 < A ⋅ C 3

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Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.13- - 2 + 5 2 - 25 8 + 125 32 + …