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Exercícios Resolvidos de Série geométrica

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Enunciado

UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 11 – Questão 18

Dada a série

∑ k = 1 ∞ 2 k 3 k

É correto afirmar que:

  1. É uma série geométrica
  2. s n = ∑ k = 1 n 2 k 3 k = 1 - 2 n - 1 3 n - 1
  3. A série converge a 1
  4. A série converge a 3
  5. s n = ∑ k = 1 n 2 k 3 k = 3 - 3 2 n + 1 3 n + 1
  6. A série diverge

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem com vocês? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você!

O problema deu essa série aqui

∑ k = 1 ∞ 2 k 3 k

E perguntou quais afirmativas estão corretas, dentro sete afirmativas!

Então a ideia é analisar uma a uma e verificar se elas estão corretas!

Mas fica sussa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

  1. É uma séria geométrica

    2. Será que nossa série é uma série geométrica? Vamos relembrar como é a cara de uma série geométrica

    ∑ k = 1 ∞ a r k

    Agora vamos analisar nossa série

    ∑ k = 1 ∞ 2 k 3 k

    Temos o mesmo expoente, então podemos juntar em um só

    ∑ k = 1 ∞ 2 k 3 k = ∑ k = 1 ∞ 2 3 k

    Assim temos que nossa série é sim uma série geométrica! Temos que

    a = 1

    r = 2 3

    Beleza? Então essa primeira afirmativa está correta!

    Passo 3

  2. s n = ∑ k = 1 n 2 k 3 k = 1 - 2 n - 1 3 n - 1

    3. Será que a soma parcial da nossa série geométrica é essa expressão ali? Para saber, precisamos relembrar como calculamos a soma parcial de uma série geométrica!

    Seja

    ∑ k = 1 ∞ a r k

    A soma dos n primeiros termos é dado por

    s n = a 1 - r - a r n + 1 1 - r

    Beleza?

    Do passo anterior, descobrimos que

    a = 1 ; r = 2 3

    Então vamos substituir na expressão da soma parcial!

    s n = a 1 - r - a r n + 1 1 - r

    s n = 1 1 - 2 3 - 1 2 3 n + 1 1 - 2 3 = 1 1 3 - 2 3 n + 1 1 3

    E agora arrumando mais um pouco

    s n = 3 - 3 2 3 n + 1 = 3 - 3 2 n + 1 3 n + 1

    Então essa segunda afirmativa está errada!

    Mas, preta atenção na afirmativa (V):

    s n = ∑ k = 1 n 2 k 3 k = 3 - 3 2 n + 1 3 n + 1

    É exatamente igual ao nosso resultado! Então já podemos incluir essa afirmativa como correta!

    Passo 4

  3. A série converge a 1

    4. Será que nossa série converge para 1 ? Para saber para qual valor a série geométrica converge, precisamos lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica infinita

    S ∞ = a 1 - r

    Tudo bem até aqui? Dos passos anteriores

    a = 1

    r = 2 / 3

    Então agora é só substituir

    S ∞ = 1 1 - 2 3 = 1 1 / 3 = 3

    1 , converge para 3 !

    Assim a afirmativa (III) está errada

    Dá uma espiadinha na afirmativa (IV):

  4. 3

É isso! Essa afirmativa está correta! Nem precisamos de mais um passo! Já resolvemos ela!

E como já sabemos que a afirmativa (V) está correta, agora só nos resta analisar a afirmativa (VI)!

Passo 3

A afirmativa (VI) nos diz que a série diverge. Mas se a soma infinita converge para 3 , isso significa que nossa série é convergente, e não divergente!

Sendo assim a última afirmativa está incorreta

Recapitulando:

  1. Verdadeira
  2. Falsa
  3. Falsa
  4. Verdadeira
  5. Verdadeira
  6. Falsa

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

  1. V e r d a d e i r a
  2. F a l s a
  3. F a l s a
  4. V e r d a d e i r a
  5. V e r d a d e i r a  
  6. F a l s a  

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