Funções de Várias Variáveis, Limites e Continuidade
Calcule ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Mano, a dica que te dou é: apareceu então a melhor coisa que você faz é partir pro teorema do sanduíche ou para o limite fundamental . Nesse caso, provavelmente vamos usar os dois XD Quando não tem seno nem cosseno, é uma ótima ideia ficar tentando caminhos pra ver se encontramos dois limites diferentes, antes de sair aplicando o teorema do sanduiche ;)
Então partiu! O argumento do seno é , certo? Então vamos multiplicar em cima e embaixo por essa expressão, que não vai alterar em nada nosso limite:
Como o produto dos limites é o limite do produto, então, como o limite de dá , precisamos apenas olhar agora para o limite de . Se ele não existir, o limite todo não existe.
Passo 2
Tirando essa frescura de que polui pra cacete o visual, vamos trabalhar na expressão . Vou voltar a escrever o limite quando terminarmos de mexer nela ;)
Fazendo o produto do numerador, temos:
Separando os termos do numerador, fica:
Agora, o que vamos pensar é o seguinte: Temos duas frações. Cada uma delas tem um numerador com uma variável que tem o grau igual ou maior a alguma das variáveis do denominador (no caso, a segunda fração tem o , que tem o mesmo grau do do denominador). Então, vamos usar o teorema do sanduíche, fazendo essa variável ficar com o mesmo grau da correspondente do denominador, e tacar no meio do sanduíche!
Passo 3
Para a primeira fração não tem jeito. Ainda bem que esse está com um grau que nos ajuda nas contas rsrs. Colocando , ao invés de , poderemos colocar o no sanduíche:
Então, teremos que:
Dividindo tudo por , temos:
Sacou o mecanismo? Agora provamos que essa fração está limitada! Como , e temos um multiplicando , então vemos que esse limite da !
Passo 4
Fazendo o mesmo para a segunda fração, teremos:
Colocando o no meio do sanduíche, que é a variável que tem o mesmo grau de uma das do numerador, teremos:
Dividindo tudo por , teremos:
E temos mais uma função limitada, multiplicada por um termo que vai pra !
Passo 5
Show! Agora vimos que (colocando o limite de volta nas coisas):
Ou seja, o limite da esquerda vai pra , enquanto o da direita, que é o fundamental, vai pra !
Então, podemos concluir que o limite existe e que é igual a 0