Calcule o seguinte limite, caso exista:
Passo 1
Primeiramente, respira.
Já dá pra ver se cara que se tentarmos simples substituição vai dar ko porque tem e multiplicando em cima e sendo somados em baixo, então vai ficar indeterminação .
Assim, vamos buscar outra forma de resolver esse limite:
Vamos reparar uma coisa no argumento do seno:
Mas a gente lembra que
Multiplicando os dois lados por e aplicando o limite :
Aí pelo teorema do sanduíche:
Ok, vamos guardar essa informação no coração, tá?
Passo 2
Agora a gente tem o termo do limite para analisar:
Como tem esse no denominador e no numerador, a gente não consegue dizer que essa função está entre 0 e 1, mas será que ela é uma função limitada entre outros valores?
Repara que a gente pode escrever que
Isso fica bem parecido com o nosso denominador, né?
Agora repara que
Como :
Ih olha só essa é a função do limite! Podemos fazer a mesma sacada, mas agora falando que
Como :
Daí a gente vê que
Logo essa função é limitada sim!
Passo 3
Chegamos onde a gente queria então.
Esse limite aqui
É nada mais nada menos do que o produto de uma função cujo limite vai a zero (que é o seno) com uma função limitada (que é essa fração).
Assim, pelo teorema do anulamento,