Determine o limite, se existir, ou prove que o limite não existe:

Não é permitido usar coordenadas polares.

Bom, precisamos sair dessa indeterminação então.

Como a substituição direta deu um resultado indeterminado, vamos resolver o limite de outra forma. Vamos fazer uso do Teorema do Anulamento.

“Ah, mas como funciona o teorema do anulamento?” Calma, vou te mostrar agora!

Temos o seguinte limite:

Para o Teorema do Anulamento funcionar, nós temos que ter um produto de uma função limitada e uma função esteja indo a zero no limite, ou seja:

Se conseguirmos ter essa ideia, podemos concluir que:

“Ok, mas o que é uma função limitada?”

Bom, a ideia é que uma função limitada é quando você consegue identificar os valores mínimos e máximos dessa função e com isso, você consegue saber se naquele intervalo pode acontecer alguma indeterminação. Se não acontecer, ela serve pro teorema e conseguimos resolver a nossa questão :D !

Ok, agora vamos aplicar isso na nossa questão, vem comigo:

Se a gente for usar a estrutura anterior:

Agora repara só:

Show, já descobrimos que a nossa vai a 0 no nosso limite, primeira parte concluída, agora temos que provar que é limitada

Ok, e como vamos provar que a nossa é limitada? Vamos partir dos princípios do Teorema do Sanduíche:

Agora, vamos dividir todos os termos por :

Só que no nosso enunciado, ele quer o denominador todo em raiz, então vamos tirar a raiz de todos os termos da nossa inequação:

ATENÇÃO!!! NÃO ESQUEÇA DO MÓDULO!

Ok, mas no enunciado nós temos no numerador? Não né?

Pois é, então nós vamos ter que analisar a nossa inequação de acordo com os intervalos de e como o se comporta, então vamos la:

Ok, vamos analisar como se comporta:

(OBS: Galera, se vocês tem dificuldade nessa parte de módulo, da uma olhadinha no tópico sobre módulos que nós temos aqui no Responde Aí que lá está bem completo para vocês ta? :D)

Voltando:

Então, vamos dividir cada caso em intervalos diferentes, vamos la:

1. Quando.. Logo:

Ok, repare que nesse intervalo encontramos a função do nosso enunciado e já conseguimos provar que ela é limitada, pois os valores dela vão variar justamente [0,1].

Vamos agora para o segundo:

1. Quando.. Logo:

Vamos multiplicar tudo por (-1):

Fique atento que ao multiplicar por algum valor negativo, os sinais da inequação se invertem ta?

Vamos dar uma arrumada agora:

Show, repare que nesse intervalo nós também encontramos a função do nosso enunciado e que ela também é limitada no intervalo de [-1,0]

Vamos agora unir as conclusões que tiramos dos dois intervalos

Shoow galera!! Conseguimos provar que a nossa função é limitada.

Vamos la galera, para finalizar:

Descobrimos que:

Ou seja, descobrimos que a nossa função acima é limitada de [-1 ,1]

Além disso, descobrimos que

Com isso, podemos concluir que