UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas de Cálculo 3 - Profº Marcos André - 1ª Lista de Exercícios, Questão 3a
Calcule os seguintes limites abaixo.
Passo 1
E aí galerinha, como vocês tão? Tudo tranquilo?
Nessa questão precisamos calcular o seguinte limite de duas variáveis:
O limite de função de duas variáveis não é suuper diferente do limite de função de uma variável. O primeiro passo continua sendo substituir o valor que as variáveis e estão tendendo, e verificar se isso nos dá um valor aceitável ou ocorre um absurdo matemático.
Caso ocorra um absurdo matemático, precisamos tentar calcular o limite de outra forma, ou provar que ele não existe.
E, é exatamente aí que mora a maior diferente entre o limite de duas variáveis para o de uma variável. No limite com duas variáveis pra o limite realmente existir, a função precisa tender para um mesmo valor independentemente do caminho escolhido. Como duas variáveis formam uma superfície, existem infinitos caminhos e em todos eles a função precisa tender para um mesmo valor, sacou?
Bom, mas chega de papoo, vamos matar o limite que o nosso problema nos deu.
Vem comigo 😊
Passo 2
Como comentamos no passo anterior, o primeiro passo é sempre substituir o valor que está tendendo pra verificar se ocorre algum absurdo matemático.
Daí:
Substituindo e , teremos:
Mas, pela propriedade do logaritmo, sabemos que:
Assim:
Portanto, o limite que estamos querendo calcular vale:
Olha que legal! Como substituindo os valores de e o nosso limite realmente tendeu a um número, sem que houvesse qualquer absurdo matemático, significa que ele realmente existe e vale .
Sacaram a ideia pessoal??!
É isso aí então, obrigado pela atenção e até a próxima 😊