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Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 19h

19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.

(h) lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ x x - y

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema foi dado um limite e nosso objetivo é verificar se podemos utilizar o teorema do confronto para calcular o limite e tambem calcular o limite...

Tem ideia de como fazer isso? 👀

Se temos que calcular um limite de uma função f e conseguimos definir f entre duas funções g e h , tal que

g ≤ f ≤ h

Se calcularmos os limites de f , g e h e os limites de g e h convergirem para um mesmo valor, então certamente o limite de f também convergirá para o mesmo valor...

lim ⁡ g ≤ lim ⁡ f ≤ lim ⁡ h → L ≤ lim ⁡ f ≤ L

lim ⁡ f = L

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Nesse caso, nossa função f é dada por

f x , y , z = x x - y

E queremos saber o limite de f para x , y , z → 0,0 , 0

lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ x x - y

Podemos começar dizendo que x está contida entre x / 2 e 2 x , ou seja

x 2 ≤ x ≤ 2 x

Agora dividimos todos os lados por x - y

x 2 x - y ≤ x x - y ≤ 2 x x - y

Bacana, não é? 😎

Passo 3

Agora para calcular o limite das extremidades, convertemos nossas coordenadas cartesianas para coordenadas polares...

Pra isso fazemos x = r cos ⁡ θ + 1 , y = r sin ⁡ θ + 1 e r → 0

Temos que somar 1 na parametrização pois o ponto de interesse não é a origem, mas sim 1,1 , 2

lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ x 2 x - y ≤ lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ x x - y ≤ lim x , y , z → 1,1 , 2 �� 2 x x - y

lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ r cos ⁡ θ + 1 2 r cos ⁡ θ + 1 - r cos ⁡ θ + 1 ≤ lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ x x - y ≤ lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ 2 r cos ⁡ θ + 1 r cos ⁡ θ + 1 - r sin ⁡ θ + 1

Simplificando os limites...

lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ r cos ⁡ θ + 1 2 r cos ⁡ θ + 1 - r cos ⁡ θ - 1 ≤ lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ x x - y ≤ lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ 2 r cos ⁡ θ + 1 r cos ⁡ θ + 1 - r sin ⁡ θ - 1

lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ r cos ⁡ θ + 1 2 r cos ⁡ θ - cos ⁡ θ ≤ lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ x x - y ≤ lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ 2 r cos ⁡ θ + 2 r cos ⁡ θ - sin ⁡ θ

Dividimos o numerador e o denominador por r

lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ r cos ⁡ θ + 1 r 2 r r cos ⁡ θ - cos ⁡ θ ≤ lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ x x - y ≤ lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ 2 r cos ⁡ θ + 2 r r r cos ⁡ θ - sin ⁡ θ

lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ cos ⁡ θ + 1 r 2 cos ⁡ θ - cos ⁡ θ ≤ lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ x x - y ≤ lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ 2 cos ⁡ θ + 2 r cos ⁡ θ - sin ⁡ θ

Calculando os limites de g e h , vamos obter que as frações 1 r e 2 r tenderão a ∞

cos ⁡ θ + ∞ 2 cos ⁡ θ - cos ⁡ θ ≤ lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ x x - y ≤ 2 cos ⁡ θ + ∞ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ

∞ ≤ lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ x x - y ≤ ∞

Perceba que o resultado não depende de θ , ou seja, o ângulo de aproximação...

Portanto, pelo teorema do confronto, temos que

lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ x x - y = ∞

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

lim x , y , z → 1,1 , 2 ⁡ x x - y = ∞

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