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Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UFABC – Lista 2 – 2018.3 – 1l

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe (Justifique!)

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2

Passo 1

Nossa função f ( x , y ) será dada por:

f x , y = x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2

De cara já podemos ver que f x , y não é contínua no ponto 0,0 já que o denominador não pode ser zero.

Passo 2

Para sabermos se existe limite vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x , ou seja, tomar y = 0

f x , 0 = x 2 s e n 2 0 x 2 + 2.0 2 = 0

Repara que o numerador zerou e o denominador está em função de x

Agora vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo y , ou seja, tomar x = 0 :

f 0 , y = 0 2 s e n 2 y 0 2 + 2 y 2 = 0

Repara que o numerador zerou e o denominador está em função de y

Agora nos aproximar tomando a reta y = m x teremos:

f x , m x = x 2 s e n 2 m x x 2 + 2 ( m x ) 2 = s e n 2 m x 1 + 2 m 2

Não chegamos a nenhum valor. Vamos avaliar esse limite,

lim x → 0 ⁡ s e n 2 m x 1 + 2 m 2 = 0

Então, galerinha, se tentarmos a aproximação pelas parábolas y = x 2 ou x = y 2 , o limite também dá zero.

Logo, há uma forte suspeita de que o limite seja zero.

Passo 3

Para confirmar nossa suspeita vamos utilizar o teorema do confroto!

Sabemos que

x 2 ≤ x 2 + 2 y 2

Logo,

x 2 x 2 + 2 y 2 ≤ 1

Como   s e n 2 y ≥ 0 , podemos multiplicar s e n 2 y nos dois lados:

0 ≤ x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2 ≤ s e n 2 y

Passo 4

Agora vamos aplicar o limite:

0   ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) s e n 2 y

0 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2 ≤ 0

Logo,

l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 s e n 2 y x 2 + 2 y 2 = 0

Resposta

0

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