UFRJ, Cálculo 2, P2 2016.1, questão 2
Considere os seguintes limites:
Então:
existe e não existe;
existe, existe e são iguais;
existe, existe, mas são diferentes;
não existe e não existe;
não existe e existe.
Passo 1
Vamos começar resolvendo o primeiro limite:
De cara, vamos tentar substituir os valores de diretamente. Temos:
Deu uma indeterminação, então devemos buscar uma outra técnica para resolver o problema.
Passo 2
Podemos usar o teorema do sanduíche para calcular esse limite.
Como a gente desconfia disso? Bom, ta vendo aquele no numerador? Então, ele se repete no denominador somado a algo não negativo . Ou seja:
Agora a gente divide essa inequação por . Vai ficar assim:
Ainda podemos multiplicar toda a inequação por . Obtemos:
Passo 3
Agora, temos de multiplicar tudo por . Porém vamos ter dois casos:
A inequação fica:
A inequação fica:
Passo 4
Agora basta tomar os limites:
Ou
Logo
Passo 5
Vamos resolver o segundo limite:
De cara, vamos tentar substituir os valores de diretamente. Temos:
Deu uma indeterminação, então devemos buscar uma outra técnica para resolver o problema.
Passo 6
Percebemos que o grau do numerador é menor do que o do denominador. Isso nos faz suspeitar que o limite não existe.
Passo 7
Vamos testar um caminho da forma , e vamos escolher de modo que o grau do numerador se iguale ao do denominador. O valor de para isso é . Vai ficar assim:
Testando por temos:
Como o valor do limite depende de , o limite não existe.
Resposta
Letra