Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria
Exercício 281234567891011121314151617181920212223242526272930313233343536373839

Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 19b

19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.

(b) lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema foi dado um limite e nosso objetivo é verificar se podemos utilizar o teorema do confronto para calcular o limite e tambem calcular o limite...

Tem ideia de como fazer isso? 👀

Se temos que calcular um limite de uma função f e conseguimos definir f entre duas funções g e h , tal que

g ≤ f ≤ h

Se calcularmos os limites de f , g e h e os limites de g e h convergirem para um mesmo valor, então certamente o limite de f também convergirá para o mesmo valor...

lim ⁡ g ≤ lim ⁡ f ≤ lim ⁡ h → L ≤ lim ⁡ f ≤ L

lim ⁡ f = L

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Nesse caso, nossa função f é dada por

f x , y = x y x 2 + y 2

E queremos saber o limite de f para x , y → 0,0

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2

Podemos começar dizendo que x está contida entre x / 2 e 2 x , ou seja

x 2 ≤ x ≤ 2 x

Multiplicando todos os lados por y

x y 2 ≤ x y ≤ 2 x y

Agora dividimos todos os lados por x 2 + y 2

x y 2 x 2 + y 2 ≤ x y x 2 + y 2 ≤ 2 x y x 2 + y 2

Bacana, não é? 😎

Passo 3

Agora para calcular o limite das extremidades, convertemos nossas coordenadas cartesianas para coordenadas polares...

Pra isso fazemos x = r cos ⁡ θ , y = r sin ⁡ θ e r → 0

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 x 2 + y 2 ≤ l i m x , y → 0,0 x y x 2 + y 2 ≤ l i m x , y → 0,0 2 x y x 2 + y 2

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ r sin ⁡ θ 2 r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2 ≤ l i m x , y → 0,0 x y x 2 + y 2 ≤ l i m r → 0 2 r cos ⁡ θ r sin ⁡ θ r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2

Simplificando os limites...

lim r → 0 ⁡ r 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ 2 r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ ≤ l i m x , y → 0,0 x y x 2 + y 2 ≤ l i m r → 0 2 r 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

lim r → 0 ⁡ r 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ 2 r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ≤ l i m x , y → 0,0 x y x 2 + y 2 ≤ l i m r → 0 2 r 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Das propriedades trigonométricas sabemos que cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , ou seja

lim r → 0 ⁡ r 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ 2 r 2 ≤ l i m x , y → 0,0 x y x 2 + y 2 ≤ l i m r → 0 2 r 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ r 2

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ sin ⁡ θ 2 ≤ l i m x , y → 0,0 x y x 2 + y 2 ≤ l i m r → 0 2 r cos ⁡ θ sin ⁡ θ

Calculando os limites de g e h , vamos obter

0 cos ⁡ θ sin ⁡ θ 2 ≤ l i m x , y → 0,0 x y x 2 + y 2 ≤ 2 0 cos ⁡ θ sin ⁡ θ

0 ≤ l i m x , y → 0,0 x y x 2 + y 2 ≤ 0

Portanto, pelo teorema do confronto, temos que

l i m x , y → 0,0 x y x 2 + y 2 = 0

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

l i m x , y → 0,0 x y x 2 + y 2 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Sabendo que cos ⁡ 1 y ≤ 1 , você pode dizer algo sobre lim x , y → 0,0 ⁡ x cos ⁡ 1 y Justifique sua resposta.
Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite não existe. f x , y = x 3 - x y 2 x 2 + y 2
Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite não existe. f x , y = 2 x x 2 + x + y 2
Sabendo que sen ⁡ 1 x ≤ 1 , você pode dizer algo sobre lim x , y → 0,0 ⁡ y sen ⁡ 1 x Justifique sua resposta.
Releia o Exemplo 5. Substitua m = tg θ na fórmula f x , y ​ y = m x = 2 m 1 + m 2 E simplifique o resultado para mostrar como o valor de f varia de acordo com o ângulo de inclinação da retaUtilize a f