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Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 19c

19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.

(c) lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema foi dado um limite e nosso objetivo é verificar se podemos utilizar o teorema do confronto para calcular o limite e tambem calcular o limite...

Tem ideia de como fazer isso? 👀

Se temos que calcular um limite de uma função f e conseguimos definir f entre duas funções g e h , tal que

g ≤ f ≤ h

Se calcularmos os limites de f , g e h e os limites de g e h convergirem para um mesmo valor, então certamente o limite de f também convergirá para o mesmo valor...

lim ⁡ g ≤ lim ⁡ f ≤ lim ⁡ h → L ≤ lim ⁡ f ≤ L

lim ⁡ f = L

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Nesse caso, nossa função f é dada por

f x , y = x 2 - y 2 x 2 + y 2

E queremos saber o limite de f para x , y → 0,0

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2

Podemos começar dizendo que x 2 está contida entre x 2 / 2 e 2 x 2 , ou seja

x 2 2 ≤ x 2 ≤ 2 x 2

Subtraindo todos os lados por y 2

x 2 2 - y 2 ≤ x 2 - y 2 ��� 2 x 2 - y 2

Agora dividimos todos os lados por x 2 + y 2

x 2 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ 2 x 2 - y 2 x 2 + y 2

Bacana, não é? 😎

Passo 3

Agora para calcular o limite das extremidades, convertemos nossas coordenadas cartesianas para coordenadas polares...

Pra isso fazemos x = r cos ⁡ θ , y = r sin ⁡ θ e r → 0

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 2 - y 2 x 2 + y 2

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ 2 2 - r sin ⁡ θ 2 r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ lim r → 0 ⁡ 2 r cos ⁡ θ 2 - r sin ⁡ θ 2 r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2

Simplificando os limites...

lim r → 0 ⁡ r 2 cos 2 ⁡ θ 2 - r 2 sin 2 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ lim r → 0 ⁡ 2 r 2 cos 2 ⁡ θ - r 2 sin 2 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

lim r → 0 ⁡ r 2 cos 2 ⁡ θ 2 - sin 2 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ lim r → 0 ⁡ r 2 2 cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

lim r → 0 ⁡ cos 2 ⁡ θ 2 - sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ lim r → 0 ⁡ 2 cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Das propriedades trigonométricas sabemos que cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , ou seja

lim r → 0 ⁡ cos 2 ⁡ θ 2 - sin 2 ⁡ θ ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ lim r → 0 ⁡ 2 cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ

Calculando os limites de g e h , vamos obter

cos 2 ⁡ θ 2 - sin 2 ⁡ θ ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ 2 cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ

Perceba que o resultado depende de θ , ou seja, o ângulo de aproximação...

Portanto, pelo teorema do confronto, temos que

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 = D i v e r g e

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 = D i v e r g e

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