Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria
Exercício 351234567891011121314151617181920212223242526272829303132333436373839

Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 19j

19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.

(j) lim x , y , z → 1 , 0 , 0 ⁡ x - 1 x - 1 2 + y + z

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema foi dado um limite e nosso objetivo é verificar se podemos utilizar o teorema do confronto para calcular o limite e tambem calcular o limite...

Tem ideia de como fazer isso? 👀

Se temos que calcular um limite de uma função f e conseguimos definir f entre duas funções g e h , tal que

g ≤ f ≤ h

Se calcularmos os limites de f , g e h e os limites de g e h convergirem para um mesmo valor, então certamente o limite de f também convergirá para o mesmo valor...

lim ⁡ g ≤ lim ⁡ f ≤ lim ⁡ h → L ≤ lim ⁡ f ≤ L

lim ⁡ f = L

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Nesse caso, nossa função f é dada por

f x , y , z = x - 1 x - 1 2 + y + z

E queremos saber o limite de f para x , y , z → 0,0 , 0

lim x , y , z → 1 , 0,0 ⁡ x - 1 x - 1 2 + y + z

Podemos começar dizendo que x está contida entre x / 2 e 2 x , ou seja

x 2 ≤ x ≤ 2 x

Subtraímos 1 de todos os lados para obter

x 2 - 1 ≤ x - 1 ≤ 2 x - 1

Agora dividimos todos os lados por x - 1 2 + y + z

x 2 - 1 x - 1 2 + y + z ≤ x - 1 x - 1 2 + y + z ≤ 2 x - 1 x - 1 2 + y + z

Bacana, não é? 😎

Passo 3

Agora para calcular o limite das extremidades, convertemos nossas coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas...

Pra isso fazemos x - 1 = r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , y = r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , z = r cos ⁡ ϕ e r → 0

lim x , y , z → 1 , 0,0 ⁡ x 2 - 1 x - 1 2 + y + z ≤ lim x , y , z → 1,0 , 0 ⁡ x - 1 x - 1 2 + y + z ≤ lim x , y , z → 1,0 , 0 ⁡ 2 x - 1 x - 1 2 + y + z

lim r → 0 ⁡ r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ + 1 2 - 1 r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + r cos ⁡ ϕ ≤ lim x , y , z → 1,0 , 0 ⁡ x - 1 x - 1 2 + y + z ≤ lim r → 0 ⁡ 2 r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ + 1 - 1 r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + r cos ⁡ ϕ

Simplificando os limites...

lim r → 0 ⁡ r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - 1 2 r 2 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + r cos ⁡ ϕ ≤ lim x , y , z → 1,0 , 0 ⁡ x - 1 x - 1 2 + y + z ≤ lim r → 0 ⁡ 2 r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ + 1 r 2 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + r cos ⁡ ϕ

Dividimos o numerador e o denominador por r

lim r → 0 ⁡ r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - 1 2 r r 2 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + r cos ⁡ ϕ r ≤ lim x , y , z → 1,0 , 0 ⁡ x - 1 x - 1 2 + y + z ≤ lim r → 0 ⁡ 2 r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ + 1 r r 2 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + r cos ⁡ ϕ r

lim r → 0 ⁡ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - 1 2 r r sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + cos ⁡ ϕ ≤ lim x , y , z → 1,0 , 0 ⁡ x - 1 x - 1 2 + y + z ≤ lim r → 0 ⁡ 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ + 1 r r sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + cos ⁡ ϕ

Calculando os limites de g e h , vamos obter que as frações 1 2 r e 1 r tenderão a ∞

sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - ∞ 0 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + cos ⁡ ϕ ≤ lim x , y , z → 1,0 , 0 ⁡ x - 1 x - 1 2 + y + z ≤ 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ + ∞ 0 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + cos ⁡ ϕ

- ∞ ≤ lim x , y , z → 1,0 , 0 ⁡ x - 1 x - 1 2 + y + z ≤ ∞

Perceba que o resultado não convergiu para um único valor...

Portanto, pelo teorema do confronto, temos que

lim x , y , z → 1,0 , 0 ⁡ x - 1 x - 1 2 + y + z = D i v e r g e

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x , y , z → 1,0 , 0 ⁡ x - 1 x - 1 2 + y + z = D i v e r g e

Exercícios de Livros Relacionados

Sabendo que cos ⁡ 1 y ≤ 1 , você pode dizer algo sobre lim x , y → 0,0 ⁡ x cos ⁡ 1 y Justifique sua resposta.
Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite não existe. f x , y = x 3 - x y 2 x 2 + y 2
Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite não existe. f x , y = 2 x x 2 + x + y 2
Sabendo que sen ⁡ 1 x ≤ 1 , você pode dizer algo sobre lim x , y → 0,0 ⁡ y sen ⁡ 1 x Justifique sua resposta.
Releia o Exemplo 5. Substitua m = tg θ na fórmula f x , y ​ y = m x = 2 m 1 + m 2 E simplifique o resultado para mostrar como o valor de f varia de acordo com o ângulo de inclinação da retaUtilize a f