Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Sabendo que

1 - x 2 y 2 3 ≤ t g - 1 x y x y ≤ 1

você pode dizer algo sobre

lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y ?

Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos usar a inequação que ele deu:

1 - x 2 y 2 3 ≤ t g - 1 x y x y ≤ 1

Aplicando o limite:

l i m x , y → 0,0 1 - x 2 y 2 3 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y ≤ l i m x , y → 0,0 1 = 1

Passo 2

Calculando o limite da esquerda:

l i m x , y → 0,0 1 - x 2 y 2 3 = 1 - 0 3 = 1

Passo 3

Ou seja:

1 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y ≤ 1

Pelo teorema do sanduíche:

lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y = 1

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ t g - 1 x y x y = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Sabendo que cos ⁡ 1 y ≤ 1 , você pode dizer algo sobre lim x , y → 0,0 ⁡ x cos ⁡ 1 y Justifique sua resposta.
Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite não existe. f x , y = x 3 - x y 2 x 2 + y 2
Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite não existe. f x , y = 2 x x 2 + x + y 2
Sabendo que sen ⁡ 1 x ≤ 1 , você pode dizer algo sobre lim x , y → 0,0 ⁡ y sen ⁡ 1 x Justifique sua resposta.
Releia o Exemplo 5. Substitua m = tg θ na fórmula f x , y ​ y = m x = 2 m 1 + m 2 E simplifique o resultado para mostrar como o valor de f varia de acordo com o ângulo de inclinação da retaUtilize a f