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Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 19g

19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.

(g) lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ x y x 2 y 2 + z 2

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dado um limite e nosso objetivo é verificar se podemos utilizar o teorema do confronto para calcular o limite e tambem calcular o limite...

Tem ideia de como fazer isso? 👀

Se temos que calcular um limite de uma função f e conseguimos definir f entre duas funções g e h , tal que

g ≤ f ≤ h

Se calcularmos os limites de f , g e h e os limites de g e h convergirem para um mesmo valor, então certamente o limite de f também convergirá para o mesmo valor...

lim ⁡ g ≤ lim ⁡ f ≤ lim ⁡ h → L ≤ lim ⁡ f ≤ L

lim ⁡ f = L

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Nesse caso, nossa função f é dada por

f x , y , z = sin ⁡ x sin ⁡ x y x 2 y 2 + z 2

E queremos saber o limite de f para x , y , z → 0,0 , 0

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ x y x 2 y 2 + z 2

Podemos começar dizendo que sin ⁡ x y x 2 y 2 + z 2 está contida entre - 1 e 1 , ou seja

- 1 ≤ sin ⁡ x y x 2 y 2 + z 2 ≤ 1

Multiplicando todos os lados por sin ⁡ x

- sin ⁡ x ≤ sin ⁡ x sin ⁡ x y x 2 y 2 + z 2 ≤ sin ⁡ x

Calculando o limite de g e h , chegamos em

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ - sin ⁡ x ≤ lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ x y x 2 y 2 + z 2 ≤ lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ sin ⁡ x

- sin ⁡ 0 ≤ lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ x y x 2 y 2 + z 2 ≤ sin ⁡ 0

0 ≤ lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ x y x 2 y 2 + z 2 ≤ 0

Portanto, pelo teorema do confronto, temos que

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ x y x 2 y 2 + z 2 = 0

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ sin ⁡ x sin ⁡ x y x 2 y 2 + z 2 = 0

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