UNICAMP, Cálculo 2, P1, 2018.1, questão 3a
Determine o limite:
Passo 1
Se tentarmos a simples substituição, vamos chegar na indeterminação
Precisamos de uma forma de sair dessa indeterminação.
Passo 2
Vamos olhar bem de pertinho a expressão desse limite:
WTF, qq eu vô fazê com esse danado???
Pois é, de imediato assim eu também não fazia a menor ideia.
Mas aí resolvi começar separando essa expressão em duas:
E então me lembrei de uma coisa chamada desigualdade triangular, que diz o seguinte:
Então,
Passo 3
Beleza, estamos com isso aqui então:
Acontece que ainda podemos abrir isso um pouco mais, assim:
E, ainda, sabemos que:
Então
Passo 4
Tá, mas isso ainda não parece estar ajudando muito a gente.
Mas veja bem:
E
Substituindo isso no que a gente já tem, ficamos com
E agora a gente pode pegar isso que separamos e juntar de novo, hehe
Passo 5
Aí você deve estar pensando:
Oxi, mas tu é doida?? Separou pra juntar?
Calma, não sou doida!
Mas olha bem no que a gente chegou. Olha bem como vai ficar se juntarmos de novo:
Ou seja
E ai agora a gente pode cortar do numerador com o do denominador.
Passo 6
Assim, nosso limite fica:
E agora a gente pode fazer uma simples substituição nesse limite:
Então
UFA!