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Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 19e

19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.

(e) lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y z x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema foi dado um limite e nosso objetivo é verificar se podemos utilizar o teorema do confronto para calcular o limite e tambem calcular o limite...

Tem ideia de como fazer isso? 👀

Se temos que calcular um limite de uma função f e conseguimos definir f entre duas funções g e h , tal que

g ≤ f ≤ h

Se calcularmos os limites de f , g e h e os limites de g e h convergirem para um mesmo valor, então certamente o limite de f também convergirá para o mesmo valor...

lim ⁡ g ≤ lim ⁡ f ≤ lim ⁡ h → L ≤ lim ⁡ f ≤ L

lim ⁡ f = L

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Nesse caso, nossa função f é dada por

f x , y , z = x y z x 2 + y 2 + z 2

E queremos saber o limite de f para x , y , z → 0,0 , 0

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y z x 2 + y 2 + z 2

Podemos começar dizendo que x está contida entre x / 2 e 2 x , ou seja

x 2 ≤ x ≤ 2 x

Multiplicando todos os lados por y z

x y z 2 ≤ x y z ≤ 2 x y z

Agora dividimos todos os lados por x 2 + y 2 + z 2

x y z 2 x 2 + y 2 + z 2 ≤ x y z x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 x y z x 2 + y 2 + z 2

Bacana, não é? 😎

Passo 3

Agora para calcular o limite das extremidades, convertemos nossas coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas...

Pra isso fazemos x = r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , y = r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , z = r cos ⁡ ϕ e r → 0

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y z 2 x 2 + y 2 + z 2 ≤ lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y z x 2 + y 2 + z 2 �� lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ 2 x y z x 2 + y 2 + z 2

Podemos simplificar um pouco na hora de transformar as coordenadas fazendo x 2 + y 2 + z 2 = r 2

lim r → 0 ⁡ r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ r cos ⁡ ϕ 2 r 2 ≤ lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y x 2 + y 2 + z 2 ≤ lim r → 0 ⁡ 2 r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ r cos ⁡ ϕ r 2

lim r → 0 ⁡ r 3 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ sin ⁡ θ 2 r 2 ≤ lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y x 2 + y 2 + z 2 ≤ lim r → 0 ⁡ 2 r 3 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ sin ⁡ θ r 2

Simplificando os limites...

lim r → 0 ⁡ r sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ sin ⁡ θ 2 ≤ lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y x 2 + y 2 + z 2 ≤ lim r → 0 ⁡ 2 r sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ sin ⁡ θ

Calculando os limites de g e h , vamos obter

0 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ sin ⁡ θ 2 ≤ lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 0 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ sin ⁡ θ

0 ≤ lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y x 2 + y 2 + z 2 ≤ 0

Perceba que o resultado não depende de θ e de ϕ , ou seja, o ângulo de aproximação...

Portanto, pelo teorema do confronto, temos que

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y z x 2 + y 2 + z 2 = 0

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y z x 2 + y 2 + z 2 = 0

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