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Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 19f

19. Verifique se é possível utilizar o teorema do confronto para o cálculo dos limites abaixo. Para os casos em que não é possível utilizar o teorema, verifique se o limite não existe.

(f) lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ 4 x - y - 3 z 2 x - 5 y + 2 z

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dado um limite e nosso objetivo é verificar se podemos utilizar o teorema do confronto para calcular o limite e tambem calcular o limite...

Tem ideia de como fazer isso? 👀

Se temos que calcular um limite de uma função f e conseguimos definir f entre duas funções g e h , tal que

g ≤ f ≤ h

Se calcularmos os limites de f , g e h e os limites de g e h convergirem para um mesmo valor, então certamente o limite de f também convergirá para o mesmo valor...

lim ⁡ g ≤ lim ⁡ f ≤ lim ⁡ h → L ≤ lim ⁡ f �� L

lim ⁡ f = L

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Nesse caso, nossa função f é dada por

f x , y , z = 4 x - y - 3 z 2 x - 5 y + 2 z

E queremos saber o limite de f para x , y , z → 0,0 , 0

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ 4 x - y - 3 z 2 x - 5 y + 2 z

Podemos começar dizendo que 4 x está contida entre x e 8 x , ou seja

x ≤ 4 x ≤ 8 x

Somando em todos os lados - y - 3 z

x - y - 3 z ≤ 4 x - y - 3 z ≤ 8 x - y - 3 z

Agora dividimos todos os lados por 2 x - 5 y + 2 z

x - y - 3 z 2 x - 5 y + 2 z ≤ 4 x - y - 3 z 2 x - 5 y + 2 z ≤ 8 x - y - 3 z 2 x - 5 y + 2 z

Bacana, não é? 😎

Passo 3

Agora para calcular o limite das extremidades, convertemos nossas coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas...

Pra isso fazemos x = r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , y = r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , z = r cos ⁡ ϕ e r → 0

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x - y - 3 z 2 x - 5 y + 2 z ≤ lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ 4 x - y - 3 z 2 x - 5 y + 2 z ≤ lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ 8 x - y - 3 z 2 x - 5 y + 2 z

lim r → 0 ⁡ r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ - 3 r cos ⁡ ϕ 2 r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - 5 r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + 2 r cos ⁡ ϕ ≤ lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ 4 x - y - 3 z 2 x - 5 y + 2 z ≤ lim r → 0 ⁡ 8 r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ - 3 r cos ⁡ ϕ 2 r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - 5 r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + 2 r cos ⁡ ϕ

Simplificando os limites...

lim r → 0 ⁡ r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ - 3 cos ⁡ ϕ r 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - 5 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + 2 cos ⁡ ϕ ≤ lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ 4 x - y - 3 z 2 x - 5 y + 2 z ≤ lim r → 0 ⁡ r 8 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ - 3 cos ⁡ ϕ r 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - 5 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + 2 cos ⁡ ϕ

lim r → 0 ⁡ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ - 3 cos ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - 5 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + 2 cos ⁡ ϕ ≤ lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ 4 x - y - 3 z 2 x - 5 y + 2 z ≤ lim r → 0 ⁡ 8 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ - 3 cos ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - 5 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + 2 cos ⁡ ϕ

Calculando os limites de g e h , vamos obter

sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ - 3 cos ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - 5 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + 2 cos ⁡ ϕ ≤ lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ 4 x - y - 3 z 2 x - 5 y + 2 z ≤ 8 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ - 3 cos ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ - 5 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + 2 cos ⁡ ϕ

Perceba que o resultado depende de θ e de ϕ , ou seja, o ângulo de aproximação...

Portanto, pelo teorema do confronto, temos que

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ 4 x - y - 3 z 2 x - 5 y + 2 z = D i v e r g e

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ 4 x - y - 3 z 2 x - 5 y + 2 z = D i v e r g e

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