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Exercícios Resolvidos de Teorema Impulso-Momento Linear

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Enunciado

Um bate-estaca usa um motor de potência P = 15   k W para levantar um martelo de massa m = 1500   k g até uma altura h = 20   m (relativa ao topo da estaca). Ao final do levantamento, a mesma é solta e bate sobre a haste sendo fixada no solo.

a Qual o tempo de subida do martelo?

b Qual a velocidade do martelo no momento de impacto?

c Qual o impulso que o martelo transmite em um ciclo (entre o início da subida e o final do impacto)?

d Se dobramos a potência do motor, e mantemos o mesmo tempo de subida, qual solução dará mais impulso ao martelo: dobrar a massa, ou dobrar a altura? Demonstre.

Dado g = 10   m / s 2 .

Passo 1

a A energia final do martelo no topo da coluna será:

U = m . g . h

U = 1500   .   10   .   20

U = 300   k J

Agora utilizando a fórmula da potência:

P = ∆ E t

15 k = 300 k t

t = 20   s

Passo 2

b   A velocidade final do martelo será dada pela energia potencial, convertida em cinética, usando a conservação de energia mecânica:

K = E p

1 2 m v 2 = 300 000

1 2 1500 v 2 = 300 000

v = 400

v = 20   m / s

Passo 3

c   O impulso é dado pela variação do momento linear da estaca:

I = m . v f - m . v 0

I = 1500   .   20 - 0

I = 30.000   k g .   m / s

Passo 4

d   Temos que o impulso será dado por:

I = m . v f - m . v 0

I = m . v f

A velocidade nós encontramos pela conservação de energia mecânica:

K = U

Como estamos duplicando a potência do motor e mantendo o mesmo tempo, significa que estamos duplicando a energia potencial

U = 2 P . Δ t

Logo estamos duplicando a energia cinética também

K = 2 U

1 2 m v 2 = 2 . m g h

v = 2 g h

Logo o impulso pode ser dado por:

I = m . 2 g h

Portanto, se dobrarmos a massa, o impulso irá ser multiplicado por 2 . Entretanto, se dobrarmos a altura, o impulso será multiplicado por 2 .

Logo, dobrar a massa será mais eficiente para aumentar o impulso.

Resposta

a   t = 20   s

b   v = 20   m / s

c   I = 30.000   k g . m / s

d Dobrar a massa.

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