Considere a função
a) Calcule , e explique as suas interpretações geométricas.
b) Encontre a taxa máxima de variação da função no ponto . Determine a direção em que essa taxa máxima de variação ocorre.
c) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .
d) Encontre a linearização de em , use-a para calcular aproximadamente e explique por que é possível usar a sua linearização para aproximar .
Passo 1
a) Olá! Ele começa pedindo para calcularmos as derivadas parciais de em . Vamos começar por . Nossa função é
Aí vamos derivar ela em relação a , para isso a gente considera uma constante e usar as regrinhas de derivação mesmo.
Repara que temos um produto de funções de , e uma delas é uma função composta. Vamos de regra da cadeia e regra do produto!
Agora é substituir o ponto :
E a interpretação geométrica é que se tivermos uma reta tangente a nossa função no ponto e na direção do vetor (paralelo ao eixo ), essa reta vai ter inclinação .
Passo 2
Bora calcular . Lembrando da nossa função
Aí vamos derivar ela em relação a , para isso, agora, a gente considera uma constante e usar as regrinhas de derivação mesmo.
Vamos tirar a constante de dentro da derivada:
Repara que temos uma função composta de . Vamos de regra da cadeia.
Agora é substituir o ponto :
E a interpretação geométrica é que se tivermos uma reta tangente a nossa função no ponto e na direção do vetor (paralelo ao eixo ), essa reta vai ter inclinação .
Passo 3
b) Cara, guarda isso no seu coração:
A direção e o sentido de maior crescimento da função é a direção e sentido do vetor gradiente da função no ponto dado. Vamos montar ele. Ele tem essa carinha:
No ponto dado
Já temos essas coisas da letra (a), então é só substituir
Então a direção e sentido da taxa máxima de variação é a direção e sentido de
Passo 4
Outra coisa para guardar no coração:
A taxa máxima de crescimento é o módulo do vetor gradiente, que vale:
Passo 5
c) Cara, para ter o plano tangente a uma superfície, a gente precisa do ponto de tangência, no nosso caso , e de um vetor normal a superfície nesse ponto . Aí como a gente o acha?
Podemos ter ele direto das derivadas parciais da nossa função. Com a fórmulinha
Substituindo essas derivadas para o nosso ponto :
Passo 6
Como a gente tem tudo, vamos jogar nossos dados na equação do plano:
Passo 7
d) Cara a aproximação linear de uma função em um ponto é dada pela expressão do plano tangente a essa função nesse ponto.
E repara, queremos a aproximação no ponto , onde já temos o plano tangente
Aí a aproximação para a nossa função nesse ponto vai ser
Passo 8
Agora a gente usa essa expressão para calcular a aproximação de
E a gente pode usar essa aproximação linear no ponto para calcular , porque os pontos e estão bem próximos, e e suas derivadas parciais são contínuas no ponto
Ou seja, porque a função é diferenciável.
Uhul! Arrasamos!
Resposta
a) ,
b) Taxa máxima ocorre na direção e sentido de . E vale .
c)
d)
E a gente pode usar essa aproximação linear no ponto para calcular , porque os pontos e estão bem próximos, e a função é diferenciável em