Calculo 2 – UNICAMP – P1
- Encontre uma aproximação linear para .
- Seja uma função diferenciável de uma variável e seja . Mostre que .
Passo 1
A ideia para resolvermos esta questão é obtermos uma função aproximação linear que seja bem convincente, e assim facilite e muito nossos cálculos. Essa função será tal que:
Só que nós não conhecemos nada sobre a nossa função . Portanto, vamos devagar, começar escrevendo a nossa função de linearização.
Sendo assim, vamos utilizar a seguinte função de linearização em torno de um ponto :
Passo 2
Agora vamos começar a detalhar a nossa função linearização, a começar pela nossa função .
A chave para identificarmos a função é observar a função que queremos obter o valor. Isto é:
O que acontece se colocarmos, no lugar desses números, coeficientes , e ? Isto é:
Pronto, assim obtivemos a nossa função. Agora vamos determinar quem é o ponto . Aqui, devemos olhar o número inteiro mais próximo dos que substituímos por incógnitas. Lembrando, os números foram , e .
Portanto, se pegarmos os inteiros mais próximos, teremos:
E estamos quase lá!
Passo 3
Agora temos que determinar as derivadas parciais e depois aplicar no ponto .
Então, vamos utilizar as regras de derivação que conhecemos bastante e a aplicarmos para o caso de cada derivada.
Muito cuidado heim! Quando calcularmos a derivada parcial em relação a , consideramos e uma constante, e assim por diante.
Sendo assim, se derivarmos parcialmente em relação a , temos:
E para as outras derivadas parciais, temos:
E por fim, vamos calcular o valor destas derivadas no ponto . Assim, obtemos:
Passo 4
Substituindo todos os valores na nossa função linearização, vamos obter:
E, para finalizarmos a questão, quando , e , vamos obter:
E então,