Funções de Várias Variáveis, Aproximações Lineares, Derivadas Parciais e Vetor Gradiente
Considere a função
a) Encontre a aproximação linear de no ponto .
b) Utilize para encontrar uma aproximação para .
c) Determine os pontos , , tais que .
Passo 1
a) Encontrar a aproximação linear de uma função em torno de um ponto é o mesmo que encontrar o plano tangente neste ponto! Mas... calma aí, plano tangente... Como assim? Essa função que temos é de variáveis! Ou seja, o que temos é:
E eu te pergunto, como vamos esboçar essa parada? Entramos na quarta dimensão: dados , e , temos !
Neste caso, a aproximação é dada pela expressão:
Ou seja, na verdade, o que temos é o produto escalar do plano tangente, , somando ao valor da função no ponto, ! Show?
Assim, tudo o que precisamos é encontrar esse vetor gradiente e o valor da função no tal ponto! Para a função:
Temo que
E, então, o vetor gradiente é
Que, para o ponto é:
Passo 2
Colocando de volta na fórmula:
Fazendo os produtos escalares e resolvendo , temos:
Portanto, nossa aproximação linear é:
E é isso aí :D
Passo 3
b) Agora, para saber a aproximação de , basta substituir esses valores na equação da nossa aproximação:
Simples, né? Só colocar os valores mesmo!
Passo 4
c) Queremos ver os pontos que fazem , certo? Então, pegamos o vetor gradiente, que já calculamos:
E igualamos ao vetor ! Para isso, resolvemos o sistema:
Veja, que, dividindo a segunda equação pela primeira, teremos:
Ou seja,
Agora, colocando a segunda equação para na terceira, teremos:
Como , então
Logo, como vale , temos, pela primeira equação:
Assim, temos que o ponto que torna o vetor gradiente igual a é o
Resposta
a) A aproximação linear é
b) O valor da aproximação é
c) O ponto é