UERJ, Sem Campus, Cálculo II, P1 - 2023.1, Questão 3c
Seja uma função de duas variáveis.
c) Encontre a linearização L(x, y) da função f (x, y) no ponto (1, 0).
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado da questão nos dá uma superfície definida pela função de duas variáveis f(x,y) e nos pede para encontrar a linearização L(x,y) dessa função no ponto (1,0). Mas o que seria essa linearização? Bem, no caso de uma função f(x) de uma variável, temos que a reta tangente à função em um ponto é a melhor aproximação linear da função f(x).
Para uma função de duas variáveis, temos que a superfície que melhor aproxima a superfície definida por f(x,y) é seu plano tangente! Então, o que a questão quer é que a gente determine um plano da forma
Que seja tangente à superfície f(x,y) no ponto (1,0,1). Então bora ver como a gente faz isso!
Passo 2
Assim como no caso de uma variável, para calcular a aproximação linear, vamos precisar das derivadas parciais da função f(x,y). Mas antes, vamos reescrever a equação do plano de uma maneira mais familiar: escrevendo z em função de x e y:
Onde apenas redefinimos as constantes a = A/C, b = B/C. Bem, se essa equação representa o plano tangente à superfície no ponto (1, 0, 1), temos que, se fizermos a interseção da superfície f(x,y) com um plano y = 0, a reta tangente à curva de interseção ( f(x, y=0) ) estará contida no plano tangente! Então, a equação
Essa é justamente a equação de uma reta tangente com inclinação igual à a, que nesse caso será dado pela derivada de f em relação à x, como no caso de uma variável:
No ponto (x, y) = (1, 0), o valor da inclinação é igual à . Então já temos um coeficiente determinado. Agora, seguimos o mesmo raciocínio para determinar b: se fizermos a interseção da superfície f(x,y) com o plano x = 1, a reta tangente à curva da interseção ( f(x=1,y) ) está contida no plano tangente. Então, como x = 1, temos que a equação se resume à
Então, novamente, a equação
É a equação de uma reta, cuja inclinação b é dada pela derivada parcial da função f(x,y), dessa vez em relação à y. Então, calculando a derivada parcial , obtemos
No ponto (1,0), b assume o valor . Então, com os valores de a e b determinados, já podemos escrever a equação do plano! Ela é dada por