Seja f uma função diferenciável. Sabendo que f(2, 5) = 6, ∂f/∂x(2,5) = -1 e ∂f/∂y|2,5 = -1 , então f(2.2, 4.9) é aproximadamente:

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

f e pediu f ( 2.2 ,   4,9 ) , isso só tem um cheiro: de aproximação linear local!

Como relembrar é viver, a aproximação linear local nos diz que:

z = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y ( y - y 0 )

O valor da função em algum ponto x , y é igual a função em um ponto próximo mais as derivadas parciais nesse ponto próximo vezes ( P - P 0 ) .

Sendo assim, precisamos determinar as seguintes quantidades:

- ponto próximo;

- derivadas parciais nesse ponto;

- função aplicada nesse ponto próximo

- e depois jogar todas essas informações na fórmula da aproximação linear local!

Vamos nessa?

Passo 2

Os dados que precisamos são:

- Ponto próximo: P ( 2,5 ) já que o problema pede a função no ponto ( 2,2 ; 4,9 ) ;

- Derivadas parciais nesse ponto próximo:

f x = ∂ f ∂ x 2,5 = 1

f y = ∂ f ∂ y 2,5 = - 1

- Função no ponto próximo:

f 2,5 = 6

Beleza até aqui?

Passo 3

Agora vamos relembrar que ( P - P 0 ) é ( x - x 0 ) e ( y - y 0 ) , com:

x 0 = 2   ,   y 0 = 4

E substituir tudo isso (e as informações do passo 2) na equação da apl:

z = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y ( y - y 0 )

z = 6 + 1 x - 2 + - 1 . ( y - 5 )

z = x - y + 9

E agora queremos saber o valor da função em x = 2,2 e y = 4,9 :

z = 2,2 - 4,9 + 9 = 6,3

E é isso! Acabou-se!

Tranquilo? Vamos pra próxima?

Resposta

6,3

Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

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