Considere a função
a) Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto
b) Determine uma equação da reta normal ao plano tangente do item anterior no ponto
c) Use uma aproximação linear para calcular o valor aproximado de se e
Passo 1
Letra a)
Você lembra como calcula o plano tangente de uma função?
A equação vetorial geral do plano tangente é
Assim, nosso e precisamos então calcular
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Calculando
Passo 2
Agora que calculamos tudo para o plano tangente, só substituir na equação vetorial
Desenvolvendo o produto vetorial:
Ou seja:
É a equação do nosso ponto tangente no ponto !
Passo 3
Letra b)
Dado que nosso plano tem equação , sabemos que o vetor cujas componentes são os coeficientes das variáveis do plano tangente nos dão um vetor normal ao plano. Logo, o vetor normal ao plano do item anterior é
A equação de uma reta que tem direção e passa num ponto é dada por:
Logo, nossa reta normal ao plano que passa no ponto e tem vetor normal é :
Passo 4
Letra c)
Para linearizarmos a nossa função já sabendo quem é o plano tangente, basta chamarmos a variável e substituir na equação do plano
Logo, nossa equação próxima do ponto
Calculando
Logo,