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Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 18e

18. Verificar se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.

(e) lim x , y → 2 , 0 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 2 + y 2

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos saber se o limite lim x , y → 2,0 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 2 + y 2 existe ou não...

Lembra como fazemos isso? 👀

O limite de uma função nada mais é que o valor que a função tende a assumir quando se aproxima de um determinado ponto.

Nesse caso podemos simplesmente aplicar o método da substituição fazendo x = 2 e y = 0 ...

Bora lá! 😐

Passo 2

Podemos fazer isso justamente porque a função f x , y = x 2 - 4 x + 4 x 2 + y 2 é contínua nesse ponto, então não há necessidade de aplicar nenhum método especial.

Calculando o limite pelo método da substituição aplicando o ponto 2,0 na função f , temos

lim x , y → 2,0 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 2 + y 2 = 2 2 - 4 2 + 4 2 2 + 0 2

lim x , y → 2,0 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 2 + y 2 = 4 - 8 + 4 4

lim x , y → 2,0 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 2 + y 2 = 0 2

lim x , y → 2,0 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 2 + y 2 = 0

Portanto o limite existe e é igual a 0 .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x , y → 2,0 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 2 + y 2 = 0

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