Encontre a equação do plano tangente à superfície
No ponto :
- Usando a equação na forma
- Admitindo que a equação dada define implicitamente como função de e .
- Encontre a aproximação linear para no ponto . A aproximação encontrada é boa?
Passo 1
Para usarmos a equação na forma temos que isolar a variável , escrevendo-a como uma função de e . Assim
Isso quer dizer que a nossa superfície é, na verdade, a união de duas superfícies:
E
Que são a sua parte de cima e de baixo, respectivamente.
Então, podemos escrever
Passo 2
Para calcular o plano tangente a essa superfície, precisamos das derivadas parciais de em relação a e a . Vamos calculá-las então:
E
Passo 3
Substituindo no ponto , temos:
Além disso,
Passo 4
Agora é só substituir tudo na equação do plano tangente:
Passo 5
Independente de como a gente considere , para achar o plano tangente, temos que encontrar as derivadas parciais de . Assim, se está definido implicitamente como função de e na equação
Para achar suas derivadas parciais devemos derivar a equação acima implicitamente em relação a e em relação a .
Vamos começar por .
Passo 6
Considerando como uma função de e , derivando implicitamente ambos os lados da equação com relação a , temos
Fazendo o mesmo, mas agora em relação a , temos:
Passo 7
De novo, agora é só substituir tudo na equação do plano tangente:
Que é a mesma equação que encontramos na letra , como deveria ser, já que estamos falando da mesma superfície.
Passo 8
Sabendo que uma aproximação linear de é dada por:
Para encontrar o valor aproximado de no ponto , basta substituir esses valores na expressão acima.
Assim:
Como e são contínuas em , temos que é diferenciável nesse ponto. Assim, a aproximação linear é uma boa aproximação para .