UFPE, Cálculo 2, EE1, 2016.2 , questão 2
Considere a função .
- Encontre a linearização da função no ponto
- A linearização encontrada no item anterior é uma boa aproximação para a função no ponto dado ?
Passo 1
- Vamos começar calculando as derivadas parciais da função. Temos:
- A linearização encontrada será uma boa aproximação linear no ponto se a função for diferenciável nesse ponto.
Passo 2
Encontrando o valor das derivadas parciais no ponto , temos:
Passo 3
Substituindo na equação da linearização de uma função, temos:
Logo, temos:
Passo 4
Para garantir isso, vamos verificar a continuidade das derivadas parciais nesse ponto.
Encontrámos:
Percebemos que ambas são contínuas para e . Logo, as derivadas parciais são contínuas para todo .
No ponto , . Logo, as derivadas parciais são contínuas e a função é diferenciável nesse ponto. Com isso, podemos garantir que a linearização é uma boa aproximação no ponto .
Resposta
- É uma boa aproximação.
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