USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 27
Seja função diferenciável em toda reta. Seja onde é constante dada. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de e então mostre que satisfaz a equação de transporte .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função e verificar que elas satisfazem a equação de transporte na forma:
Então, vamos calcular:
E substituir na equação de transporte para verificar se o nosso resultado é zero.
Vamos lá!
Passo 2
Nossa função é dada por:
Então, derivando primeiro em relação a , usando a regra da cadeia, temos:
Simplificando:
Passo 3
Da mesma forma, vamos derivar nossa função em relação a :
Simplificando:
Passo 4
Agora vamos verificar se essas derivadas satisfazem a equação de transporte:
Que é o mesmo que:
Nos passos anteriores, nós encontramos e . Então, substituindo, temos:
Portanto, as derivadas parciais de primeira ordem de satisfazem a equação de transporte , como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉