Seja f : R → R função diferenciável em toda reta. Seja u x ,   y = f ( x - c y ) onde c é constante dada. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de u e então mostre que u satisfaz a equação de transporte u y + c u x = 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função u ( x ,   y ) e verificar que elas satisfazem a equação de transporte na forma:

u y + c u x = 0

Então, vamos calcular:

∂ u x ,   y ∂ x       e     ∂ u x ,   y ∂ y

E substituir na equação de transporte para verificar se o nosso resultado é zero.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

u x ,   y = f x - c y

Então, derivando primeiro em relação a x , usando a regra da cadeia, temos:

∂ u x ,   y ∂ x = f ' x - c y ∂ ∂ x x - c y

∂ u x ,   y ∂ x = f ' x - c y ∙ ( 1 )

Simplificando:

∂ u x ,   y ∂ x = f ' x - c y

Passo 3

Da mesma forma, vamos derivar nossa função em relação a y :

∂ u x ,   y ∂ y = f ' x - c y ∂ ∂ y x - c y

∂ u x ,   y ∂ y = f ' x - c y ∙ ( - c )

Simplificando:

∂ u x ,   y ∂ y = - c f ' x - c y

Passo 4

Agora vamos verificar se essas derivadas satisfazem a equação de transporte:

u y + c u x = 0

Que é o mesmo que:

∂ u ∂ y + c ∂ u ∂ x = 0

Nos passos anteriores, nós encontramos ∂ u ∂ x = f ' x - c y e ∂ u ∂ y = - c f ' x - c y . Então, substituindo, temos:

- c f ' x - c y + f ' x - c y = 0

Portanto, as derivadas parciais de primeira ordem de u satisfazem a equação de transporte u y + c u x = 0 , como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ u ∂ x = f ' x - c y

∂ u ∂ y = - c f ' x - c y

Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

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