USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 28i
Seja , onde é diferenciável no plano e são deriváveis num intervalo
(b) Derive para os casos:
onde , .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a derivada da função em relação a , ou seja, vamos calcular .
Pra isso, como a nossa função é uma função composta, que depende de e , vamos precisar usar a Regra da Cadeia na derivação. Então, vamos usar a regra da cadeia na forma:
Sacou? Nós vamos derivar parcialmente em relação a e em relação a , para obter e , respectivamente. E vamos derivar , , em relação a , para obter e .
Vamos lá!
Passo 2
Nossa função é dada por:
Derivando ela parcialmente em relação a , usando a regra da cadeia, temos:
Da mesma forma, derivando parcialmente em relação a , temos:
Passo 3
Agora derivando a equação paramétrica em relação a , temos:
E derivando a segunda equação paramétrica, , em relação a , temos:
Passo 4
Então, juntando tudo na fórmula da regra da cadeia, vista no passo , teremos:
Logo,
Não é necessário substituir as expressões por e em termos de . Porque essa derivada pode ser interpretada como a taxa de variação de com relação a quando o ponto se move ao longo da curva com equações paramétricas e .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉