UFABC – Funções de Várias Variáveis – Lista de Exercícios 3 – Questão 8c
Encontre uma aproximação linear para:
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
Precisamos encontrar a aproximação linear local de uma função, mas não sabemos qual é essa função!
o problema nos disse para calcular esse valor aqui
Então uma função que calcularia seria essa aqui:
No ponto
A aproximação linear local serve para encontrarmos o valor de alguma determinada função em um ponto perto (ponto geralmente quebrado, com a parte decimal pequena) de um ponto mais ‘comportado’, que no nosso caso seria
Como relembrar é viver, a aproximação linear de uma função em um ponto comportado é:
Então precisamos encontrar algumas coisas
- A função aplicada no ponto comportado
- As derivadas parciais também aplicadas no ponto comportado
- Depois substituir esses valores na expressão para aproximação
- E por fim, podemos calcular a função no ponto
Beleza? Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Vamos começar calculando a função no ponto comportado :
Aí aplicando temos
Tranquilo?
Agora vamos para as parciais!
Passo 3
Nossa função é:
Agora vamos calcular as derivadas parciais! Começando pela :
E agora vamos aplicar em :
Belezinha? Vamos para a parcial em !
E agora vamos aplicar em :
Tudo bem até aqui?
E agora vamos aplicar em :
Belezura?
Passo 4
Agora vamos jogar todos esses resultados na expressão para aproximação linear! Lá do passo 1:
E dos passos 2 e 3:
E queremos saber quanto vale a função em , então o ponto comportado é o nosso . Agora é só substituir:
E é isso! A função nesse ponto vale !