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Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis

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Enunciado

UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 11

Se ( x , y ) está próximo de ( 0,0 ) , então y + cos 2 ⁡ x ≈ 1 + y 2

Escolha uma opção:

( ) Verdadeiro

( ) Falso

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O enunciado deu uma função e afirmou que ela pode ser aproximada por outra num ponto P , isso só tem um cheiro: de aproximação linear de uma função de várias variáveis!

Como relembrar é viver, essa aproximação nos diz que:

f x , y ≈ f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

No nosso caso x 0 , y 0 = ( 0,0 ) e queremos saber a função ali perto! (no caso em ( x , y ) )

Então a ideia aqui é:

  1. Encontrar as derivadas parciais f x e f y e aplicar em ( 0,0 ) ;
  2. Encontrar o valor de f aplicada em ( 0,0 ) ;
  3. E por fim, colocar os valores encontrados na formuleta ali em cima

Mas relaxa, vou fazer com você passo a passo!

Vamos nessa?

Passo 2

Primeiro as derivadas parciais. A função f é:

y + cos 2 ⁡ x

Agora a derivada em relação a x :

f x = 1 2 y + cos 2 ⁡ x . 2 . cos ⁡ x . - sin ⁡ x = - 2 cos ⁡ x sin ⁡ x   2 y + cos 2 ⁡ x

E aplicado em ( 0,0 ) temos:

f x = - 2 cos ⁡ 0 sin ⁡ 0   2 0 + cos 2 ⁡ 0 = 0 1 = 0

Beleza?

Agora a derivada em y :

f y = 1 2 y + cos 2 ⁡ x . 1

E aplicando em ( 0,0 ) :

f y = 1 2 0 + cos 2 ⁡ 0 = 1 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos calcular a função no ponto ( 0,0 ) :

f x 0 , y 0 = y + cos 2 ⁡ x

E em ( 0,0 ) :

f 0,0 = 0 + cos 2 ⁡ 0 = 1 = 1

Passo 4

E por fim, vamos aplicar esses resultados na fórmula lá do passo 1:

f x , y ≈ f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

Substituindo os resultados temos o seguinte:

y + cos 2 ⁡ x ≈ 1 + 0 . x - 0 + 1 2 y - 0 = 1 + y 2

Viu! Essa afirmativa é verdadeira!

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

V e r d a d e i r a

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