Seja
Com
Seja o plano tangente ao gráfico de no ponto .
- Escreva o vetor , normal ao gráfico de no ponto . Escreva a equação cartesiana de .
- Determine dois vetores tangentes a , sendo pertencente ao plano e pertencente ao plano .
- Exiba uma parametrização para
- Usando obrigatoriamente aproximação linear, calcule o valor aproximado de
Passo 1
Um vetor normal ao gráfico de é o vetor gradiente da superfície que é gráfico de .
Vamos definir essa superfície substituindo por e jogando tudo pra esquerda e chamando isso de .
Essa equação define a superfície que é gráfico da nossa .
Passo 2
O vetor gradiente será então:
Assim
Substituindo no ponto :
Assim,
Passo 3
Agora, a equação cartesiana do plano tangente é dada por
Opa, mas antes precisamos saber quem é , né?
Pronto, agora voltando, a equação do plano tangente será:
Passo 4
Agora precisamos encontrar dois vetores, e , paralelos ao plano tangente.
Se esses vetores são paralelos ao plano tangente, então significa que eles são perpendiculares ao vetor que é normal (perpendicular) ao plano.
E dois vetores perpendiculares nós já sabemos né: tem o produto escalar igual a zero. Assim
Além disso, o vetor tem que pertencer ao plano . E o vetor tem que pertencer ao plano . Isso significa que a coordenada do vetor tem que ser nula e a coordenada do vetor também. Assim
Substituindo o vetor :
Da primeira equação, temos que
Da segunda equação temos:
Assim, nossos vetores podem ser reescritos da seguinte forma:
Se arbitrarmos e , nossos vetores serão
Passo 5
Agora precisamos parametrizar nosso plano tangente .
A equação paramétrica do plano é dada por
Que é bem parecida com a equação paramétrica da reta, certo? Só que agora temos 2 parâmetros e 2 “vetores diretores”, que são vetores paralelos ao plano.
Felizmente nós já calculamos dois vetores paralelos ao plano tangente.
Assim, vamos substituir com nossos dados então
Fim de papo!
Passo 6
Para calcular o valor aproximado de vamos usar a linearização da nossa função, que é dada simplesmente pela expressão do plano tangente da nossa função, assim:
Agora, substituindo e :