Considere a função
- A função é diferenciável no ponto ? Justifique
- Encontre a linearização de no ponto
Passo 1
Precisamos saber se a função é diferenciável no ponto .
Essa é uma função normal, quer dizer, ela não é definida por partes nem nada, só tem uma definição mesmo.. Então vamos tentar analisar a diferenciabilidade dela tentando calcular as derivadas parciais nesse ponto e vendo se elas são contínuas.
Passo 2
A derivada parcial em relação a , pela regra da cadeia, é:
A derivada parcial em relação a , pela regra da cadeia e do produto, é:
Beleza, agora para avaliar a continuidade dessas derivadas parciais vamos pensar o seguinte: elas são o produto de uma função trigonométrica com uma função composta entre uma função exponencial e uma função polinomial. Logo, essas derivadas são resultantes de operações elementares com funções clássicas.
E funções clássicas são contínuas em seus domínios.
Agora, para saber se são continuas no ponto basta verificar se esse ponto está no domínio dessas derivadas.
E, de fato, está. Essas derivadas não possuem nenhuma restrição quanto a esse ponto.
Assim, como as derivadas parciais de existem e são contínuas no ponto , é diferenciável nesse ponto.
Passo 3
Agora precisamos encontrar a linearização de nas proximidades de .
Sabemos que
No ponto :
Só precisamos calcular o valor da função e das derivadas parciais no ponto . Depois é só substituir nessa expressão e pronto, teremos a linearização.
Passo 4
O valor de no ponto é:
As derivadas parciais no ponto são:
E
Passo 5
Substituindo tudo
Resposta
- Sim.