Dada
- Determine o plano tangente ao gráfico de pela origem.
- Determine se a aproximação do plano tangente é uma boa aproximação na proximidade de
Passo 1
Vamos seguir o passo a passo!
- Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície
- Jogar todas as variáveis para o lado esquerdo da equação
- Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação
- Calcular gradiente de :
- Calcular gradiente de no ponto :
- O vetor normal será
Passo 2
Substituindo por na expressão da função e jogando tudo para o lado esquerdo da equação, temos:
Passo 3
Vamos encontrar logo qual é a coordenada do ponto dado no enunciado? É só a gente substituir na expressão aqui de cima:
No ponto ...
Passo 4
Ok, agora temos que
Passo 5
Estamos prontos para calcular o vetor gradiente!
Assim, nosso vetor gradiente, na origem, fica:
Passo 6
Agora que temos o gradiente, temos o vetor normal ao plano tangente! Portanto, basta jogarmos na equação do plano e ele aparecerá!
Colocando e teremos nosso plano:
Passo 7
Como as derivadas parciais e existem e são contínuas na origem, uma vez que são compostas de funções contínuas em todo o , então a função é diferenciável em todo o , inclusive na origem. Dessa forma, a aproximação é boa nas proximidades desse ponto.
Resposta
- Como as derivadas parciais e existem e são contínuas na origem, uma vez que são compostas de funções contínuas em todo o , então a função é diferenciável em todo o , inclusive na origem. Dessa forma, a aproximação é boa nas proximidades desse ponto.