Um capacitor cilíndrico é constituído por duas cascas cilíndricas metálicas e coaxiais. A casca interna possui raio e carga , enquanto que a casca externa possui raio e carga . Ambas as cascas possuem comprimento .
Calcule a capacitância do capacitor.
Calcule a densidade de energia eletrostática armazenada no interior do capacitor.
Utilize o campo elétrico obtido no item , e calcule a energia armazenada no interior do capacitor.
Um dielétrico de constante dielétrica é colocado entre as placas do capacitor de maneira a preencher todo espaço entre elas. Nestas circunstâncias, calcule o campo elétrico no interior do capacitor e as cargas induzidas na superfície do dielétrico, .
Passo 1
Calcule a capacitância do capacitor.
A capacitância é dada por:
Onde o potencial elétrico é dado por:
Assim, o primeiro passo para calcular a capacitância é o cálculo do campo elétrico entre as cascas. Para esse problema, vamos utilizar a Lei de Gauss aplicada à simetria cilíndrica.
A nossa gaussiana cilíndrica possui raio , tal que . Assim, a mesma engloba somente a casca interna, de carga . Logo:
Passo 2
O segundo passo é o cálculo do potencial elétrico, dado por:
Passo 3
Finalmente, agora basta utilizar a equação da capacitância:
Onde .
Passo 4
Calcule a densidade de energia eletrostática armazenada no interior do capacitor.
A densidade de energia eletrostática, por definição, é dada por:
Substituindo aqui a expressão do campo elétrico que encontramos no Passo 1, teremos:
Organizando a bagunça, teremos:
Passo 5
Utilize o campo elétrico obtido no item , e calcule a energia armazenada no interior do capacitor.
Na letra vimos que a densidade de energia eletrostática (calculada a partir do campo elétrico) é dada por:
Assim, para calcular a energia armazenada, podemos utilizar a densidade de energia da seguinte forma:
Onde . Logo:
Organizando isso, teremos:
Passo 6
Um dielétrico de constante dielétrica é colocado entre as placas do capacitor de maneira a preencher todo espaço entre elas. Nestas circunstâncias, calcule o campo elétrico no interior do capacitor e as cargas induzidas na superfície do dielétrico, .
Ao colocarmos um dielétrico entre as placas, a permissividade, que antes era , agora passa a ser , tal que:
Assim, aplicando novamente a Lei de Gauss, temos que:
Passo 7
Voltando à Lei de Gauss. A constante dielétrica aparece em decorrência de cargas induzidas no interior do dielétrico.
Assim, junto à placa de carga , será induzida uma carga . O oposto ocorre na placa negativa do capacitor, onde, no dielétrico, será induzida uma carga .
Assim, aplicando novamente a Lei de Gauss, temos:
Reorganizando isso, teremos:
Resposta