Lei de Gauss, Capacitores e Dielétricos
Um capacitor de placas paralelas, de área e separação , é originalmente carregado com carga . Desligando—se a bateria, uma lâmina dielétrica de espessura e constante dielétrica é, então, inserida entre as placas do capacitor.
Calcule:
O vetor no interior do dielétrico;
A capacitância desde capacitor;
A diferença de potencial entre as placas do capacitor;
O valor da densidade superficial de carga induzida nas paredes do dielétrico.
Passo 1
O vetor no interior do dielétrico;
De acordo com a Lei de Gauss:
Como se trata de uma material dielétrico, não usamos o (que é válido apenas para o vácuo ou ar), usaremos agora , tal que:
Voltando ao problema, a Lei de Gauss pode ser simplificada para:
O campo elétrico sai da placa carregada positivamente para a placa carregada negativamente.
Onde é um vetor unitário no sentido do campo elétrico.
Passo 2
A capacitância desde capacitor;
Eu sei que pode parecer bizarro olhando assim de cara, mas uma coisa que pode simplificar é se visualizarmos esse capacitor, na verdade, como uma associação de três capacitores em série: o primeiro sem dielétrico e separação ; o segundo com dielétrico e separação ; e o terceiro sem dielétrico e separação .
Assim:
Como o primeiro e o terceiro são iguais, :
Onde:
Substituindo de volta na expressão de :
Agora é só dar uma arrumada nessa bagunça até ficar com uma cara decente:
Finalmente:
Passo 3
A diferença de potencial entre as placas do capacitor;
A diferença de potencial vai ser a soma das diferenças de potenciais entre as 3 regiões entre as placas:
Como já vimos anteriormente, .
Passo 4
O valor da densidade superficial de carga induzida nas paredes do dielétrico.
O campo elétrico quando colocamos um dielétrico na região, é dado por:
Certo? Mas sem o dielétrico, o campo elétrico seria . Essa variação ocorre porque, quando colocamos uma material dielétrico, as cargas induzidas produzem um campo elétrico induzido que se opõe a , resultando no campo elétrico que calculamos quando colocamos um dielétrico.
Resumindo:
Organizando esse cara, vamos encontrar o seguinte:
Resposta