Considere um capacitor constituído por duas cascas metálicas cilíndricas e coaxiais. A casca interna de raio tem carga , e a externa de raio tem carga . O comprimento das cascas é muito maior que seus raios ( e ). Expresse as respostas às questões abaixo em termos de , , , e .
(a) Calcule o campo elétrico na região entre as placas.
(b) Calcule a capacitância do capacitor.
(c) Qual é a energia total armazenada no capacitor?
(d) Qual é a densidade de energia elétrica em um ponto qualquer entre as placas?
(e) A partir do resultado da letra (d) obtenha novamente o resultado da letra (c).
Passo 1
Para resolver o item (a), vamos utilizar Lei de Gauss.
O primeiro passo é determinar uma superfície gaussiana. Bem, como o problema possui simetria cilíndrica, vamos utilizar um cilindro de raio localizado entre as duas placas, ou seja, .
Passo 2
Agora, vamos olhar para a expressão da Lei de Gauss:
Podemos tirar as seguintes conclusões:
- O vetor campo elétrico é paralelo ao vetor normal à superfície e, consequentemente ao vetor logo, ;
- O campo é uniforme ao longo de toda a superfície gaussiana; e
- A carga interna nada mais é que a carga da casca cilíndrica interna, ou seja, .
Passo 3
A partir daí, podemos reescrever a equação da Lei de Gauss como:
A área da superfície gaussiana é a área lateral do cilindro, ou seja, .
Passo 4
Por fim, chegamos em:
Lembrando que o campo sai da casca interna (positiva) no sentido da casca externa (negativa)!
Passo 5
Agora, vamos resolver o item (b). Bem, por definição, a capacitância de um capacitor é dada por:
onde é a carga de cada condutor e é a diferença de potencial entre os condutores.
Temos o valor de , não é? Precisamos, então, calcular .
Passo 6
A diferença de potencial pode ser calculada a partir do campo elétrico como:
onde é o vetor de deslocamento.
Bem e são paralelos, já que ambos os vetores apontam da casca interna para a externa. Assim sendo, .
Sabendo disso, só substituímos na expressão de :
Notem que já expressei o campo como uma função da variável , ou seja, .
Passo 7
Agora, precisamos saber quanto vale , certo? Bem, nós já calculamos seu valor no item (a)!
Bora então substituir na expressão de :
Passo 8
Tranquilo até aqui? Agora já conseguimos calcular a capacitância do nosso capacitor!
Temos:
Passo 9
c)
Para começar, vamos calcular a energia armazenada no capacitor. Ela é dada por:
Temos o valor da capacitância do item (b), dada por
.
Substituindo na expressão de , chegamos em:
Passo 10
d)
Para o cálculo de densidade de energia, vamos utilizar a seguinte expressão:
onde é o volume da região entre uma casca cilíndrica de raio e a casca interna de raio , com , ou seja, entre as placas.
Nesse caso, é dado por:
Passo 11
O valor da densidade de energia para um ponto a uma distância da casca interna será dado, portanto, por:
Passo 12
e)
Bem, agora partimos do resultado encontrado no Passo 11 (ou seja, o valor de ) para obter a energia armazenada no capacitor.
Sabemos que:
que é o valor encontrado no item (c).
Resposta
a) O campo elétrico na região entre as placas é dado por:
b) A capacitância do capacitor é dada por:
(c) A energia total armazenada no capacitor é dada por:
(d) A densidade de energia elétrica em um ponto com distância à placa interna é dada por:
(e) Passo 12