Seja o capacitor cilíndrico da figura abaixo, com a placa interna carregada com carga negativa - q , de tal forma que a placa externa tenha a mesma carga, em módulo, porém positiva.

(a) Determine a densidade de energia u entre suas placas.

(b) Determine a energia U armazenada neste capacitor, usando a relação u = d U d V , onde d V é um elemento de volume.

Passo 1

(a) Determine a densidade de energia u entre suas placas.

Percebemos, inicialmente, que p campo elétrico está orientado de fora para dentro. Podemos usar a lei de Gauss para determinar o módulo do campo elétrico E na região entre as placas. Aqui vamos usar uma superfície gaussiana cilíndrica de raio a < r < b :

Φ E = Q i n t ϵ 0 → E A = Q i n t ϵ 0 ,

E = q ϵ 0 2 π r l .

Passo 2

A densidade de energia será dada por:

u = ϵ 0 E 2 2 .

Substituindo o valor de E encontrado no Passo 1, temos que:

u = q 2 8 π 2 ϵ 0 r 2 l 2 .

Passo 3

(b) Determine a energia U armazenada neste capacitor, usando a relação u = d U d V , onde d V é um elemento de volume.

A energia armazenada será:

U = ∫ a b u d V ,

em que d V = 2 π r l   d r . Assim sendo, utilizando a expressão para u na equação acima, ficamos com:

U = ∫ a b q 2 8 π 2 ϵ 0 r 2 l 2 2 π r l   d r ,

U = ∫ a b q 2 4 π ϵ 0 r l d r = q 2 4 π ϵ 0 l ln ⁡ r a b ,  

U = q 2 4 π ϵ 0 l ln ⁡ b a .  

Resposta

(a) u = q 2 8 π 2 ϵ 0 r 2 l 2 .

(b) U = q 2 4 π ϵ 0 l ln ⁡ b a .  

Exercícios Resolvidos de Campo e Energia em um Capacitor.

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados