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Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - Profª Aline Lunkes - Lista 8 - Série de Potências, Questão 3.29

Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

29)

∫ 0 0,2 1 1 + x 5 d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral como uma série de potências:

∫ 0 0,2 1 1 + x 5 d x

Para isso, devemos analisar a função dentro da integral e comparar com uma função parecida que pode ser dada também em uma série convertida. No caso temos:

1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + … = ∑ n = 0 ∞ x n

Com isso, podemos resolver a integral e, em seguida, calcular o raio de convergência!!

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

😉

Passo 2

Então... Reescrevendo a nossa função para que possamos comparar com a nossa função exemplo, temos:

f x = 1 1 - - x 5

Assim, temos a seguinte série de potências:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 5 n

Aplicando na integral e resolvendo, temos:

∫ 0 0,2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 5 n d x ∴

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 5 n + 1 5 n + 1 0,2 0 ∴

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n 0,2 5 n + 1 5 n + 1

= 0,2 - 0,2 6 6 + 0,2 11 11 + … - 0 - 0 6 6 + 0 11 11 + … ∴

≈ 1,9 * 10 - 9

Passo 3

Agora, para determinar o raio de convergência, sabendo da nossa razão geométrica, temos:

- x 5 < 1 ∴

x < 1

Ou seja, o raio de convergência é R = 1 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 0 0,2 1 1 + x 5 d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 0,2 5 n + 1 5 n + 1 ≈ 1,9 * 10 - 9

R = 1

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