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Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

Encontre uma representação em série de potências em torno de x 0 = 0 da função

x 2 1 + x 3 2

Sugestão:

d d x 1 1 + x 3  

Passo 1

Vamos lá, segue comigo! A gente quer uma série de potências pra essa função aí: f x = x 2 1 + x 3 2

Mas vamos começar pela dica que o enunciado dá. Como calculo essa derivada? Oras, com a Regra da Cadeia...

d d x 1 1 + x 3 = - 1 1 + x 3 2 d d x x 3

d d x 1 1 + x 3 = - 3 x 2 1 + x 3 2

Isso quer dizer que nossa função f ( x ) nada mais é que

f x = - 1 3 d d x 1 1 + x 3

Certo?

Passo 2

Beleza. Agora vamos avaliar a série de potências da função

1 1 + x 3

Você já deve ter notado que ela tem a cara da Série Geométrica:

1 1 - w = 1 + w + w 2 + w 3 + … = ∑ n = 0 ∞ w n

Desde que w < 1 .

Então beleza, substitui w = - x 3 e tá tudo certo!

1 1 + x 3 = 1 - x 3 + x 6 - x 9 + … = ∑ n = 0 ∞ - x 3 n    

Desde que - x 3 < 1 , isto é, x < 1 .

Passo 3

Ok, agora vamos derivar essa função na forma de série...

d d x 1 1 + x 3 = d d x ∑ n = 0 ∞ - x 3 n

d d x 1 1 + x 3 = d d x ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n

d d x 1 1 + x 3 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n . 3 n . x 3 n - 1

Passo 4

Maravilha, só falta aquele - 1 3 perdido lá no início, lembra?

f x = - 1 3 ∑ n = 1 ∞ - 1 n . 3 n . x 3 n - 1

Como sai dessa? Corta o 3   com 3 e - - 1 n vira - 1 n + 1 :

f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 . n . x 3 n - 1

f x = x 2 - 2 x 5 + 3 x 8 …

Passo 5

Lá em cima vimos que o raio de convergência dessa série era R = 1 . Então, vamos testar as extremidades do intervalo ( - 1,1 ) .

  • x = - 1 :

    • f - 1 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 . n . ( - 1 ) 3 n - 1 = ∑ n = 1 ∞ n = 1 + 2 + 3 + …     →       d i v e r g e !

  • x = 1 :

f 1 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 . n . ( 1 ) 3 n - 1 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 .   n = 1 - 2 + 3 - 4 …   →       d i v e r g e !

Finalmente, concluímos que o intervalo de convergência é I C = ( - 1,1 ) .

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 . n . x 3 n - 1 ,       x ∈ ( - 1,1 )

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