Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

Seja f a função definida pela série de potências

∑ n = 0 ∞ x n + 1 n + 1 2 = x + x 2 4 + x 3 9 + … + x n + 1 n + 1 2

  1. Escreva a série de potências que define a função f ' e determine o domínio de f '

Passo 1

Olá, tudo tranquilo? Precisamos encontrar a série de potência que está relacionada com a derivada e o domínio dessa série de potências aqui

∑ n = 0 ∞ x n + 1 n + 1 2 = x + x 2 4 + x 3 9 + … + x n + 1 n + 1 2

Mas você o que tem a ver domínio com uma série de potências?

Dizemos o domínio de uma função é o conjunto de valores de x que podem ser substituídos na função sem causar ‘problemas’ (divisão por zero ou raiz negativa de índice par)

O que tem isso a ver com série de potências? Quando uma função pode ser escrita em termos de uma série de potência, dizemos que essa série representa a função

Isso significa que onde a série converge, é justamente onde a função existe!

Então a ideia aqui é encontrar o intervalo de convergência da série dada! Esse será o domínio da função!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa série é a seguinte

∑ n = 0 ∞ x n + 1 n + 1 2

Vamos derivar a parte em x e achar a série que representa a derivada da função:

∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) x n + 1 - 1 n + 1 2 = ∑ n = 0 ∞ x n n + 1

Beleza? Essa é a série que representa a derivada da função! Agora nossa missão é encontrar o domínio, ou seja, o raio e intervalo de convergência da série!

Nosso termo geral incluindo x é

a n = x n n + 1

Agora fazendo n → n + 1 temos

a n + 1 = x n + 1 n + 2

Tranquilo até aqui?

Agora vamos determinar a razão a n + 1 a n e simplificar ao máximo

a n + 1 a n = x n + 1 n + 2   . ( n + 1 ) x n = x . n + 1 n + 2

Agora vamos calcular o limite quando n → ∞ , lembrando que a parte em x pode sair do limite

ρ = x lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2

Podemos aplicar a regra de L’Hôpital para resolver aquele limite

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2 = ⏝ L ' H lim n → ∞ ⁡ 1 1 = 1

E agora nossa série será convergente se ρ < 1

ρ = x lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2 ⏝ = 1 = x < 1

Beleza?

Passo 3

Agora nossa missão é identificar o intervalo de convergência e verificar se ele é aberto ou fechado em suas extremidades! Partindo do raio de convergência

x < 1

- 1 < x < 1

Encontramos nosso intervalo:

I c :   - 1 < x < 1

Obs.: o raio de convergência de uma função e de suas derivadas (de qualquer ordem) é o mesmo!

Precisamos agora definir se o intervalo é aberto ou fechado nos extremos! Vamos testar na série de potências os dois valores de x :

x = - 1 ,   x = 1

Onde a série resultante for convergente, o intervalo será fechado. Caso contrário, será aberto.

Passo 4

Para o primeiro valor de x , com x = - 1 , nossa série de potências

∑ n = 0 ∞ x n n + 1

Fica assim

∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n n + 1

Temos uma série alternada, então vamos aplicar o Teste das Séries Alternadas para determinar se converge ou não!

O Teste das Séries alternadas nos diz que para haver a convergência precisamos satisfazer dois critérios:

1º) lim n → ∞ ⁡ a n = 0

2º)   a n + 1 < a n

Nossa série tem a n = 1 n + 1 , portanto lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 = 0 , ok! Primeiro critério satisfeito! Agora o segundo

a n + 1 = 1 n + 2 < 1 n + 1 = a n

Oba! Nossa série converge no extremo inferior! Então ali o intervalo é fechado

Agora vamos testar no limite superior, com x = 1

∑ n = 0 ∞ 1 n n + 1 = ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1

Temos uma série que é bem parecida com a p-série divergente

∑ n = 1 ∞ 1 n ,   p = 1

Então aqui podemos aplicar o Teste da Comparação dos Limites

Nesse teste a gente procura uma série que saibamos o comportamento ( a n ) e que se parece com a que queremos analisar ( b n ) , e fazemos o seguinte:

lim n → ∞ ⁡ a n b n

Se o resultado desse limite for um número finito positivo, isso significa que ambas as séries têm o mesmo comportamento

No nosso caso a n = 1 n e b n = 1 n + 1 . Calculando o limite temos

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n = ⏝ ∞ ∞ = L ' H lim n → ∞ ⁡ 1 1 = 1 > 0

Show! Concluímos que essa série é divergente! Sendo assim, no intervalo superior o intervalo é aberto!

Passo 5

Recapitulando, nossa série:

∑ n = 0 ∞ x n n + 1

Achamos o raio de convergência

x < 1 = R

E intervalo com um extremo aberto e outro fechado:

I c = [ - 1,1 )

Sendo assim o domínio da função que é representada por essa série é

D o m = [ - 1,1 )

Oba, terminamos! Espero ter ajudado!

Resposta

D o m = [ - 1,1 )

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