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Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Exercício 2012345678910111213141516171819212223242526272829303132

Enunciado

Teste 1: O desenvolvimento em série de potências da função

f x = ∫ 0 x sin ⁡ t 2 t d t

Centrada no x = 0 é:

  1. ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 4 n + 1 2 n + 1 ! 4 n + 1
  2. ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 n + 1 2 n + 1 ! 2 n + 1
  3. ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 4 n + 2 2 n + 1 ! 4 n + 2
  4. ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 n + 2 2 n + 1 ! 4 n + 2

Passo 1

Bem, calcular essa integral está fora de questão, até porque eu nem sei fazer isso utilizando os princípios de integração que aprendemos :/

Encontrar a série de potências por definição também não é algo aconselhável, pois levaria uma eternidade que nós não temos.

Agora, o que acha de encontrarmos tal série utilizando a série já conhecida do seno?

sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Uma boa neh? Então vamos lá!

Passo 2

Substituindo primeiro o x = t 2 no seno...

sin ⁡ t 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 2 n + 1 2 n + 1 ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 4 n + 2 2 n + 1 !

Dividindo agora por t ...

sin ⁡ t 2 t = 1 t ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 4 n + 2 2 n + 1 ! =

∑ n = 0 ∞ - 1 n t 4 n + 2 ⋅ t - 1 2 n + 1 ! =

∑ n = 0 ∞ - 1 n t 4 n + 1 2 n + 1 !

Integrando...

∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 4 n + 1 2 n + 1 !   d t =

Invertendo a ordem de integração...

∑ n = 0 ∞ ∫ - 1 n t 4 n + 1 2 n + 1 !   d t =

E integrando com relação a t ...

∑ n = 0 ∞ - 1 n t 4 n + 2 2 n + 1 ! 4 n + 2

Resposta

c )   ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 4 n + 2 2 n + 1 ! 4 n + 2

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