Determine a série de Taylor da função em torno do ponto . Qual é o raio de convergência dela?
Passo 1
Aqui tem um truque rs Vamos escrever aquela função assim:
Agora pensa numa função genérica
Derivando :
Passo 2
Mas a gente já viu como representar esses caras em série:
Portanto:
Nota o seguinte, o termo só assume dois valores possíveis:
Então podemos simplificar o somatório mostrando somente os termos pares. Pra isso, basta substituir e . Logo:
Passo 3
Integrando dos dois lados com respeito a :
Logo:
Então nós temos que , que podemos expressar como:
Raio de convergência é .