UFTPR - Londrina - Cálculo 3 - Listas - Teste 9 - Listas de Estudos Cáculo 3 - UTFPR - Lista 2022.2 - Questão 3
Use uma série de potências para aproximar a integral . Utilize em sua aproximação ao menos um polin��mio de grau .
Passo 1
Eaew, belezinha?
Esta questão pede para que usemos uma série de potências para aproximarmos a seguinte integração
Ou seja, devemos escrever o integrando acima como um polinômio da forma
Poderíamos fazer isso usando força bruta, como por exemplo, aplicando a definição de uma série de potências (Taylor ou Maclaurin) e calcular seis derivadas para obter todos os coeficientes. No entanto, pode ser de interesse partir de uma expansão de uma função mais simples, para obtermos uma que é mais complicada! Vamos usar aqui a série geométrica
Consegue sacar a ideia? Vem comigo!
Passo 2
Vamos comparar as duas funções, nós temos a seguinte função para expandir
comparando com a série geométrica, temos algumas diferenças, primeiro, ao invés de é , também temos um sinal diferente no denominador e, por último, temos um no numerador. Vamos ver primeiro que diferença é causada quando mexemos no sinal! Vamos substituir em nossa série geométrica , ficando com
Isso é o lado direito da expansão (1), mas e o lado esquerdo? Temos que
Ótimo, achamos que a nossa série irá alternar de sinal! Ainda temos algumas diferenças para trabalhar! Vamos lá!
Passo 3
Vamos agora colocar o nosso usando uma mudança da forma no resultado que obtivemos acima! Temos que
agora se usarmos o mesmo em nosso somatório, temos que
Começando a ficar melhor não é? Falta só mais um passo para obtermos a nossa série! Vamos lá!
Passo 4
A nossa função original tem um no numerador, portanto, vamos multiplicar ambos os lados do resultado que acabamos de obter por , temos que
Como a soma é em , podemos entrar com no somatório, e usar que , para escrever
Obtendo então a nossa expansão em série de potências do integrando! Vamos usar isso agora para obter a aproximação de nossa integral! Vem comigo!
Passo 5
Primeiro, vamos expandir o nosso polinômio até uma ordem , temos que
Isso já é o suficiente, temos então que
Substituindo este resultado em nosso integrando, temos que
Lembra como fazemos para calcular estas integrais? Bora lá!
Passo 6
Usando a seguinte identificação para as primitivas
para , obtemos o seguinte resultado
que pode ser aproximado como
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!