PUCRIO – Cálculo 4 – MAT1154 – 2020.2 – G1 – Tarefa 3
Considere a função
Escreva como série de potências
centrada em utilizando duas técnicas distintas e encontre intervalo de convergência. Primeiro, recorra à função
Em seguida, utilize as técnicas pertencentes à série de Maclaurin.
Passo 1
Vem comigo que a gente resolve essa juntos!
Temos que expressar a função como uma série de potências. E ele quer a gente chegue nisso usando duas técnicas combinadas.
Primeiro vamos usar que a derivada da função é dada por:
Então podemos encontrar a essa função escrita na forma de série usando técnicas pertencentes à série de Maclaurin, que nada mais é que a série de Taylor com , ela tem a seguinte cara:
Então a gente expande nessa forma e tenta achar uma fórmula geral para ela.
A gente tendo essa fórmula geral a gente integral ela, já que:
E assim encontramos a série que representa .
Depois para encontrar o intervalo de convergência, vamos usar o teste da razão, onde temos que:
Vamos aplicar isso ao que temos e ver os intervalos de para que isso seja verdade.
Vamos nessa então!
Passo 2
Vamos abrir a função como uma série de Maclaurin, temos o seguinte:
Olhando essa série podemos escrever ela como o seguinte termo geral:
Passo 3
Agora vamos integrar os dois lados da equação que chegamos no passo anterior, temos:
Integrando, temos:
Essa então é a função escrita na forma de série.
Passo 4
Agora vamos achar o intervalo de convergência. Vamos usar o teste a razão ao nosso favor.
Ficamos então com o seguinte:
Passo 5
Para resolver esse limite podemos isolar no numerador e no denominador, assim:
Quando os termos com no denominador vão a zero então o limite fica igual a , assim:
Com isso temos que .
Passo 6
Agora para achar o intervalo de convergência, temos que avaliar os valores de para que a inequação seja verdadeira, temos que:
Com isso temos que:
Então o intervalo de convergência é dado por .
Questão finalizada com sucesso!
Resposta
O intervalo de convergência é .